CE SUNT TRIUNGHIURILE OBLICE? (CU EXERCIȚII) - MATEMATICA - 2025

Cele triunghiuri oblice sunt acele triunghiuri care nu sunt dreptunghiuri. Cu alte cuvinte, triunghiurile astfel încât niciunul dintre unghiurile lor nu este un unghi drept (măsura lor este de 90º).

Deoarece nu au unghiuri drepte, atunci Teorema pitagoreică nu poate fi aplicată la aceste triunghiuri.

Prin urmare, pentru a cunoaște datele dintr-un triunghi oblic este necesar să utilizați alte formule.

Formulele necesare pentru rezolvarea unui triunghi oblic sunt așa-numitele legi ale păcătoșilor și ale cosinusurilor, care vor fi descrise ulterior.

În plus față de aceste legi, faptul că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu 180 ° poate fi întotdeauna folosită.

Triunghiuri oblice

Așa cum s-a spus la început, un triunghi oblic este un triunghi astfel încât niciunul dintre unghiurile sale nu măsoară 90 °.

Problema găsirii lungimilor laturilor unui triunghi oblic, precum și găsirii măsurilor unghiurilor sale, se numește „rezolvarea triunghiurilor oblice”.

Un fapt important atunci când lucrați cu triunghiuri este că suma celor trei unghiuri interne ale unui triunghi este egală cu 180º. Acesta este un rezultat general, prin urmare pentru triunghiurile oblice poate fi, de asemenea, aplicat.

Legile sinusurilor și cosinuselor

Dat cu un triunghi ABC cu laturile de lungime "a", "b" și "c":

- Legea sinelor prevede că a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), unde A, B și C sunt unghiurile opuse față de „a”, „b” și „c "Respectiv.

- Legea cosinusului prevede că: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). În mod echivalent, se pot utiliza următoarele formule:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) sau a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Folosind aceste formule, datele pentru un triunghi oblic pot fi calculate.

Exerciții

Mai jos sunt câteva exerciții în care trebuie să se găsească datele lipsă ale triunghiurilor date, pe baza anumitor date furnizate.

Primul exercițiu

Având în vedere un triunghi ABC astfel încât A = 45º, B = 60º și a = 12cm, calculați celelalte date ale triunghiului.

Soluţie

Folosind asta suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 ° avem asta

C = 180º-45º-60º = 75º.

Cele trei unghiuri sunt deja cunoscute. Legea sinusurilor este apoi utilizată pentru a calcula cele două părți care lipsesc.

Ecuațiile care apar sunt 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Din prima egalitate putem rezolva pentru „b” și obținem asta

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

De asemenea, putem rezolva pentru „c” și obținem asta

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Al doilea exercițiu

Având triunghiul ABC astfel încât A = 60º, C = 75º și b = 10cm, calculați celelalte date ale triunghiului.

Soluţie

Ca și în exercițiul precedent, B = 180º-60º-75º = 45º. Mai mult, folosind legea sinelor avem că a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), din care se obține că a = 10 * păcat (60º) / păcat (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm și c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Al treilea exercițiu

Având triunghiul ABC astfel încât a = 10cm, b = 15cm și C = 80º, calculați celelalte date ale triunghiului.

Soluţie

În acest exercițiu este cunoscut un singur unghi, prin urmare nu poate fi pornit ca în cele două exerciții anterioare. De asemenea, legea sinelor nu poate fi aplicată deoarece nici o ecuație nu a putut fi rezolvată.

Prin urmare, procedăm la aplicarea legii cosinusilor. Atunci este asta

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

astfel încât c ≈ 16,51 cm. Acum, cunoscând cele 3 laturi, se folosește legea păcatelor și se obține asta

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / păcat (80º).

Prin urmare, rezolvarea pentru B rezultă în păcat (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0,894, ceea ce implică faptul că B ≈ 63,38º.

Acum, putem obține că A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Al patrulea exercițiu

Laturile unui triunghi oblic sunt a = 5cm, b = 3cm și c = 7cm. Găsiți unghiurile triunghiului.

Soluţie

Din nou, legea sinelor nu poate fi aplicată direct, deoarece nici o ecuație nu ar servi la obținerea unghiurilor.

Folosind legea cosinusului, avem c² = a² + b² - 2ab cos (C), din care la rezolvare avem acel cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 și, prin urmare, C = 120º.

Acum, dacă putem aplica legea păcatelor și astfel obținem 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / păcat (120º), de unde putem rezolva pentru B și obținem acel păcat (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, astfel încât B = 21,79º.

În cele din urmă, ultimul unghi este calculat folosind acel A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

Referințe

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (reed. Ed.). Progresul.
2. Leake, D. (2006). Triunghiuri (ed. Ilustrată). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologie CR
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.