LOCK LOCK OF ALGEBRA: DOVADĂ, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Proprietatea de blocare a algebrei este un fenomen care leagă două elemente ale unui set cu o operație, unde condiția necesară este ca, după ce cele 2 elemente să fie procesate în cadrul operației menționate, rezultatul să aparțină și setului inițial.

De exemplu, dacă numerele sunt luate ca un set și o sumă ca o operație, obținem un blocaj al acelui set în raport cu suma. Acest lucru se datorează faptului că suma de 2 numere pare va da întotdeauna un alt număr egal, îndeplinind astfel condiția de blocare.

Sursa: unsplash.com

caracteristici

Există multe proprietăți care determină spații sau corpuri algebrice, cum ar fi structuri sau inele. Cu toate acestea, proprietatea de blocare este una dintre cele mai cunoscute în algebra de bază.

Nu toate aplicațiile acestor proprietăți se bazează pe elemente sau fenomene numerice. Multe exemple zilnice pot fi lucrate dintr-o abordare pur algebric-teoretică.

Un exemplu pot fi cetățenii unei țări care își asumă o relație juridică de orice fel, cum ar fi un parteneriat comercial sau o căsătorie între altele. După efectuarea acestei operațiuni sau management, ei rămân cetățeni ai țării. În acest fel, operațiunile de cetățenie și management în raport cu doi cetățeni reprezintă un blocaj.

Algebra numerică

În ceea ce privește numerele, există multe aspecte care au făcut obiectul studiului în diferite curente de matematică și algebră. Un număr mare de axiome și teoreme au apărut din aceste studii care servesc ca bază teoretică pentru cercetarea și munca contemporană.

Dacă lucrăm cu seturile numerice, putem stabili o altă definiție valabilă pentru proprietatea de blocare. Se spune că un set A este blocarea unui alt set B dacă A este cel mai mic set care conține toate seturile și operațiile pe care le conține B.

Demonstrație

Dovada de blocare se aplică pentru elementele și operațiile prezente în setul de numere reale R.

Fie A și B două numere care aparțin mulțimii R, închiderea acestor elemente este definită pentru fiecare operație conținută în R.

Sumă

- Suma: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Acesta este modul algebric de a spune că Pentru toți A și B care aparțin numerelor reale, avem că suma lui A plus B este egală cu C, care aparține și celor reale.

Este ușor să verificați dacă această propunere este adevărată; este suficient să efectuați suma dintre orice număr real și să verificați dacă rezultatul aparține și numerelor reale.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Se observă că condiția de blocare este îndeplinită pentru numerele reale și suma. În acest fel se poate concluziona: Suma numerelor reale este un blocaj algebric.

Multiplicare

- Înmulțire: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Pentru toți A și B care aparțin realurilor, avem în vedere că înmulțirea lui A cu B este egală cu C, care aparține și realurilor.

Când se verifică cu aceleași elemente din exemplul precedent, se observă următoarele rezultate.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Aceasta este o dovadă suficientă pentru a concluziona că: Înmulțirea numerelor reale este un blocaj algebric.

Această definiție poate fi extinsă la toate operațiunile cu numere reale, deși vom găsi anumite excepții.

Sursa: pixabay.com

Cazuri speciale în R

Divizia

Primul caz special este divizarea, în care se vede următoarea excepție:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Pentru toți A și B care aparțin lui R avem că A dintre B nu aparține realelor dacă și numai dacă B este egal cu zero.

Acest caz se referă la restricția de a nu se putea împărți la zero. Deoarece zero aparține numerelor reale, atunci rezultă că: diviziunea nu este o blocare a realurilor.

Depunerea

Există, de asemenea, operațiuni de potențare, mai exact cele de radicalizare, unde sunt prezentate excepții pentru puterile radicale ale unui index uniform:

Pentru tot A care aparține realelor, a noua rădăcină a lui A aparține realelor, dacă și numai dacă A aparține realurilor pozitive unite la un set al cărui singur element este zero.

În acest fel, se denotă faptul că rădăcinile uniforme se aplică numai realurilor pozitive și se concluzionează că potențarea nu este un blocaj în R.

logaritm

Într-un mod omolog, acesta poate fi văzut pentru funcția logaritmică, care nu este definită pentru valori mai mici sau egale cu zero. Pentru a verifica dacă logaritmul este un blocaj al lui R, procedați după cum urmează:

Pentru tot A care aparține realelor, logaritmul lui A aparține realelor, dacă și numai dacă A aparține realurilor pozitive.

Excludând valorile negative și zero care aparțin și lui R, se poate afirma că:

Logaritmul nu este un blocaj al numerelor reale.

Exemple

Verificați blocarea pentru adăugarea și scăderea numerelor naturale:

Suma în N

Primul lucru este să verificați starea de blocare pentru diferite elemente ale setului dat, în cazul în care dacă se observă că un anumit element rupe cu condiția, existența unui blocaj poate fi refuzată automat.

Această proprietate este valabilă pentru toate valorile posibile ale A și B, așa cum se vede în următoarele operații:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Nu există valori naturale care încalcă starea de blocare, astfel încât se concluzionează:

Suma este un blocaj în N.

Restă în N

Sunt căutate elemente naturale capabile să rupă afecțiunea; A - B aparține nativilor.

Funcționând este ușor să găsiți perechi de elemente naturale care nu îndeplinesc condiția de blocare. De exemplu:

7 - 10 = -3 ∉ a N

În acest fel putem concluziona că:

Scăderea nu este o blocare pe setul de numere naturale.

Exerciții propuse

1-Arătați dacă proprietatea de blocare este îndeplinită pentru setul de numere raționale Q, pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și divizarea operațiunilor.

2-Explicați dacă setul de numere reale este un blocaj al setului de numere întregi.

3-Determinați ce set numeric poate fi blocarea numerelor reale.

4-Dovezi proprietatea blocării pentru setul de numere imaginare, cu privire la adunare, scădere, înmulțire și divizare.

Referințe

1. Panorama matematicii pure: alegerea Bourbakist. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teoria numerelor algebrice. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Universitatea Națională Autonomă din Mexic, 1975.
3. Algebra liniară și aplicațiile sale. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Structuri algebrice V: teoria corpului. Hector A. Merklen. Organizarea statelor americane, Secretariatul General, 1979.
5. Introducere în algebră comutativă. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.