PRINCIPIUL MULTIPLICATIV: TEHNICI ȘI EXEMPLE DE NUMĂRARE - MATEMATICA - 2025

Principiul multiplicativ este o tehnică folosită pentru rezolvarea problemelor de numărare pentru a găsi soluția fără a fi necesară enumerarea elementelor acesteia. Este, de asemenea, cunoscut ca principiul fundamental al analizei combinatorii; se bazează pe înmulțirea succesivă pentru a determina cum poate avea loc un eveniment.

Acest principiu afirmă că, dacă o decizie (d ₁ ) poate fi luată în n moduri și o altă decizie (d ₂ ) poate fi luată în m moduri, numărul total de moduri în care se pot lua deciziile d ₁ și d ₂ va fi egal a înmulți de la n _* m. Conform principiului, fiecare decizie este luată una după alta: număr de moduri = N _{1 *} N ₂ … _* N _x căi.

Exemple

Exemplul 1

Paula plănuiește să meargă la filme cu prietenii ei, și să aleagă hainele pe care le va purta, separă 3 bluze și 2 fuste. În câte moduri se poate îmbrăca Paula?

Soluţie

În acest caz, Paula trebuie să ia două decizii:

d ₁ = Alegeți între 3 bluze = n

d ₂ = Alegeți între 2 fuste = m

În felul acesta Paula are n _* m decizii de a lua sau diferite moduri de a se îmbrăca.

n _* m = 3 _* 2 = 6 decizii.

Principiul multiplicativ este născut din tehnica diagramei arborelui, care este o diagramă care raportează toate rezultatele posibile, astfel încât fiecare poate să apară un număr finit de ori.

Exemplul 2

Mario era foarte însetat, așa că s-a dus la brutărie să cumpere suc. Luis are grijă de el și îi spune că vine în două dimensiuni: mare și mic; și patru arome: mere, portocale, lămâie și struguri. În câte moduri poate alege Mario sucul?

Soluţie

În diagrama se poate observa că Mario are 8 moduri diferite de a alege sucul și că, la fel ca în principiul multiplicativ, acest rezultat este obținut prin înmulțirea n _* m. Singura diferență este că prin această diagramă puteți vedea cum sunt modurile în care Mario alege sucul.

Pe de altă parte, când numărul rezultatelor posibile este foarte mare, este mai practic să se folosească principiul multiplicativ.

Tehnici de numărare

Tehnicile de numărare sunt metode utilizate pentru a face o numărare directă și astfel știu numărul de aranjamente posibile pe care le pot avea elementele unui set dat. Aceste tehnici se bazează pe mai multe principii:

Principiul adăugării

Acest principiu afirmă că, dacă două evenimente m și n nu pot apărea în același timp, numărul de moduri în care se poate produce primul sau al doilea eveniment va fi suma lui m + n:

Număr de forme = m + n … + x diferite forme.

Exemplu

Antonio vrea să facă o călătorie, dar nu decide în ce destinație; la Agenția de Turism Sud vă oferă o promoție pentru a călători în New York sau Las Vegas, în timp ce Agenția de Turism de Est recomandă călătoria în Franța, Italia sau Spania. Câte alternative de călătorie îți oferă Antonio?

Soluţie

Cu Agenția de Turism Sud, Antonio are 2 alternative (New York sau Las Vegas), în timp ce cu Agenția de Turism de Est are 3 opțiuni (Franța, Italia sau Spania). Numărul diferitelor alternative este:

Număr de alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.

Principiul permutării

Este vorba despre a comanda în mod specific toate sau unele dintre elementele care alcătuiesc un set, pentru a facilita numărarea tuturor aranjamentelor posibile care pot fi făcute cu elementele.

Numărul de permutări a n diferite elemente, luate toate simultan, este reprezentat ca:

_n P _n = n!

Exemplu

Patru prieteni vor să facă o poză și vor să știe câte moduri diferite pot fi aranjate.

Soluţie

Vrei să cunoști setul tuturor modurilor posibile prin care cele 4 persoane pot fi poziționate pentru a face poza. Astfel, trebuie să:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 forme diferite.

Dacă numărul de permutări de n elemente disponibile este luat de părți ale unui set alcătuit din elemente r, acesta este reprezentat ca:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Exemplu

Într-o clasă sunt 10 locuri. Dacă 4 elevi participă la clasă, în câte moduri diferite pot studenții să completeze posturile?

Soluţie

Avem că numărul total de scaune este de 10, iar dintre acestea vor fi folosite doar 4. Formula dată este aplicată pentru a determina numărul de permutări:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 moduri de a completa pozițiile.

Există cazuri în care unele dintre elementele disponibile ale unui set sunt repetate (sunt aceleași). Pentru a calcula numărul de tablouri care iau toate elementele în același timp, se utilizează următoarea formulă:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

Exemplu

Câte cuvinte diferite din patru litere pot fi formate din cuvântul „lup”?

Soluţie

În acest caz, există 4 elemente (litere) dintre care două sunt exact aceleași. Aplicând formula dată, se știe câte rezultate de cuvinte diferite:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 cuvinte diferite.

Principiul combinării

Este vorba despre aranjarea tuturor sau a câtorva dintre elementele care alcătuiesc un set fără o anumită ordine. De exemplu, dacă aveți un aranjament XYZ, acesta va fi identic cu aranjamentele ZXY, YZX, ZYX, printre altele; aceasta deoarece, în ciuda faptului că nu sunt în aceeași ordine, elementele fiecărui aranjament sunt aceleași.

Când unele elemente (r) sunt luate din mulțimea (n), principiul combinației este dat de următoarea formulă:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Exemplu

Într-un magazin vând 5 tipuri diferite de ciocolată. În câte moduri diferite se pot alege 4 bomboane de ciocolată?

Soluţie

În acest caz, 4 bomboane de ciocolată trebuie alese dintre cele 5 tipuri pe care le vând în magazin. Ordinea în care sunt alese nu contează și, în plus, un tip de ciocolată poate fi ales mai mult de două ori. Aplicând formula, trebuie să:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 moduri diferite de a alege 4 bomboane de ciocolată.

Când sunt luate toate elementele (r) din mulțimea (n), principiul combinației este dat de următoarea formulă:

_n C _{n =} n!

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Există o echipă de baseball cu 14 membri. În câte moduri pot fi alocate 5 poziții pentru un joc?

Soluţie

Setul este format din 14 elemente și doriți să alocați 5 poziții specifice; adică ordinea contează. Formula de permutare este aplicată în cazul în care n elemente disponibile sunt luate de părți ale unui set care este format din r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Unde n = 14 și r = 5. Se înlocuiește în formula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 moduri de a atribui cele 9 poziții de joc.

Exercițiul 2

Dacă o familie de 9 ani pleacă într-o călătorie și își cumpără biletele cu locuri consecutive, câte moduri diferite pot sta?

Soluţie

Este vorba despre 9 elemente care vor ocupa 9 locuri consecutiv.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 diferite moduri de ședere.

Referințe

1. Hopkins, B. (2009). Resurse pentru predarea matematicii discrete: proiecte de clasă, module de istorie și articole.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematică discretă. Pearson Education ,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Rezolvarea problemelor matematice finite și discrete. Editori ai Asociației de Cercetare și Educație.
4. Padró, FC (2001). Matematică discretă. POLITEC. din Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematică pentru științe aplicate. Reverte.