PRINCIPIUL ADITIV: DIN CE CONSTĂ ȘI DIN EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Principiul aditivului este o tehnică de contorizare a probabilităților care ne permite să măsurăm în câte moduri se poate desfășura o activitate, care, la rândul său, are mai multe alternative de efectuat, dintre care doar una poate fi aleasă la un moment dat. Un exemplu clasic este acela când doriți să alegeți o linie de transport pentru a merge dintr-un loc în altul.

În acest exemplu, alternativele vor corespunde tuturor liniilor de transport posibile care acoperă ruta dorită, fie aerian, maritim sau terestru. Nu putem merge într-un loc folosind simultan două mijloace de transport; trebuie să alegem doar unul.

Principiul aditivului ne spune că numărul de modalități prin care trebuie să facem această călătorie va corespunde sumei fiecărei alternative (mijloace de transport) posibile care există pentru a merge la locul dorit, acesta va include chiar și mijloacele de transport care fac o escală undeva (sau locuri) între ele.

Evident, în exemplul precedent vom alege întotdeauna cea mai confortabilă alternativă care se potrivește cel mai bine posibilităților noastre, dar probabilistic este extrem de important să știm în câte moduri se poate desfășura un eveniment.

Probabilitate

În general, probabilitatea este domeniul matematicii care este responsabil pentru studierea evenimentelor sau fenomenelor și experimentelor aleatorii.

Un experiment sau un fenomen aleatoriu este o acțiune care nu dă întotdeauna aceleași rezultate, chiar dacă este efectuată cu aceleași condiții inițiale, fără a modifica nimic în procedura inițială.

Un exemplu clasic și simplu pentru a înțelege în ce constă un experiment aleatoriu este acțiunea de a arunca o monedă sau un zar. Acțiunea va fi întotdeauna aceeași, dar nu vom primi întotdeauna „capete” sau „șase”, de exemplu.

Probabilitatea este responsabilă pentru furnizarea de tehnici pentru a determina cât de des poate avea loc un eveniment aleatoriu dat; printre alte intenții, principalul este acela de a prezice posibile evenimente viitoare care sunt incerte.

Probabilitatea unui eveniment

Mai particular, probabilitatea ca un eveniment A să aibă loc este un număr real între zero și unul; adică un număr aparținând intervalului. Este notat cu P (A).

Dacă P (A) = 1, atunci probabilitatea ca evenimentul A să se producă este 100%, iar dacă este zero, nu există nicio șansă să se producă. Spațiul de probă este setul tuturor rezultatelor posibile care pot fi obținute prin efectuarea unui experiment aleatoriu.

Există cel puțin patru tipuri sau concepte de probabilitate, în funcție de caz: probabilitate clasică, probabilitate frecventistă, probabilitate subiectivă și probabilitate axiomatică. Fiecare se concentrează pe cazuri diferite.

Probabilitatea clasică cuprinde cazul în care spațiul probei are un număr finit de elemente.

În acest caz, probabilitatea apariției unui eveniment A va fi numărul de alternative disponibile pentru a obține rezultatul dorit (adică numărul de elemente din setul A), împărțit la numărul de elemente din spațiul de probă.

Aici trebuie să se considere că toate elementele spațiului probei trebuie să fie la fel de probabile (de exemplu, ca un dat care nu este modificat, în care probabilitatea obținerii oricăruia dintre cele șase numere este aceeași).

De exemplu, care este probabilitatea ca rularea unei matrițe să obțină un număr impar? În acest caz, setul A ar fi format din toate numerele impare cuprinse între 1 și 6, iar spațiul de probă ar fi format din toate numerele de la 1 la 6. Deci, A are 3 elemente și spațiul de probă are 6. Deci Prin urmare, P (A) = 3/6 = 1/2.

Care este principiul aditiv?

După cum am spus mai devreme, probabilitatea măsoară cât de des are loc un anumit eveniment. Ca parte a capacității de a determina această frecvență, este important să cunoaștem în câte moduri poate fi realizat acest eveniment. Principiul aditivului ne permite să facem acest calcul într-un anumit caz.

Principiul aditivului stabilește următoarele: Dacă A este un eveniment care are moduri de a fi „a”, iar B este un alt eveniment care are moduri de a fi „b” și dacă în plus pot apărea doar A sau B și nu ambele în același timp. în același timp, atunci modurile A sau B (A∪B) sunt realizate a + b.

În general, acest lucru este declarat pentru unirea unui număr finit de mulțimi (mai mare sau egal cu 2).

Exemple

Primul exemplu

Dacă o librărie vinde cărți despre literatură, biologie, medicină, arhitectură și chimie, dintre care are 15 tipuri diferite de cărți despre literatură, 25 de biologie, 12 de medicină, 8 de arhitectură și 10 de chimie, câte opțiuni are o persoană. să alegi o carte de arhitectură sau o carte de biologie?

Principiul aditivului ne spune că numărul de opțiuni sau modalități de a face această alegere este 8 + 25 = 33.

Acest principiu poate fi aplicat și în cazul în care este implicat un eveniment unic, care la rândul său are diferite alternative de desfășurat.

Să presupunem că doriți să desfășurați o anumită activitate sau eveniment A și că există mai multe alternative pentru aceasta, spuneți n.

La rândul său, prima alternativă are ₁ moduri de a fi realizate, a doua alternativă are ₂ moduri de a fi realizate și așa mai departe, numărul alternativ n poate fi făcut în _n moduri.

Principiul aditivului prevede că evenimentul A poate fi realizat în ₁ + până la ₂ +… + în _n moduri.

Al doilea exemplu

Să presupunem că o persoană dorește să cumpere o pereche de pantofi. Când ajunge la magazinul de încălțăminte, găsește doar două modele diferite de mărimea pantofului său.

Există două culori disponibile una, și cinci culori disponibile ale celeilalte. În câte moduri are această persoană de a face această achiziție? Prin principiul aditivului răspunsul este 2 + 5 = 7.

Principiul aditivului trebuie utilizat atunci când doriți să calculați modalitatea de a efectua un eveniment sau altul, nu ambele simultan.

Pentru a calcula diferitele moduri de a realiza un eveniment împreună ("și") cu un altul - adică ambele evenimente trebuie să se producă simultan - se folosește principiul multiplicativ.

Principiul aditivului poate fi, de asemenea, interpretat în termeni de probabilitate după cum urmează: probabilitatea ca un eveniment A sau un eveniment B să fie notat de P (A∪B), știind că A nu poate apărea simultan la B, este dat de P (A∪B) = P (A) + P (B).

Al treilea exemplu

Care este probabilitatea de a obține un 5 atunci când rolați o matriță sau se îndreaptă când aruncați o monedă?

După cum s-a văzut mai sus, în general, probabilitatea de a obține orice număr la rularea matriței este de 1/6.

În special, probabilitatea obținerii unui 5 este de asemenea 1/6. În mod similar, probabilitatea de a primi capete atunci când aruncați o monedă este 1/2. Prin urmare, răspunsul la întrebarea anterioară este P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Referințe

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Setarea scenei pentru probabilitatea clasică și aplicațiile sale. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Introducere în teoria probabilității. Național al Columbia.
3. Daston, L. (1995). Probabilitatea clasică în iluminare. Presa universitară Princeton.
4. Hopkins, B. (2009). Resurse pentru predarea matematicii discrete: proiecte de clasă, module de istorie și articole.
5. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematică discretă. Pearson Education.
6. Larson, HJ (1978). Introducere în teoria probabilității și inferențe statistice. Editorial Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Rezolvarea problemelor matematice finite și discrete. Editori ai Asociației de Cercetare și Educație.
8. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Probabilitatea și statisticile matematice: aplicații în practica clinică și managementul sănătății. Ediții Díaz de Santos.
9. Padró, FC (2001). Matematică discretă. POLITEC. din Catalunya.
10. Steiner, E. (2005). Matematică pentru științe aplicate. Reverte.