PARALELEPIPED: CARACTERISTICI, TIPURI, ZONĂ, VOLUM - MATEMATICA - 2025

Un paralelipiped este un corp geometric format din șase fețe, caracteristica principală fiind aceea că toate fețele sale sunt paralelograme și, de asemenea, că fețele sale opuse sunt paralele între ele. Este un poliedru obișnuit în viața noastră de zi cu zi, deoarece îl putem găsi în cutii de pantofi, forma unei cărămizi, forma unui cuptor cu microunde etc.

Fiind un poliedru, paralelipipedul închide un volum finit și toate fețele sale sunt plane. Face parte din grupul de prisme, care sunt acele poliedre în care toate vârfurile sale sunt conținute în două planuri paralele.

Elemente de paralelipiped

feţele

Ele sunt fiecare dintre regiunile formate din paralelograme care limitează paralelipipedul. Un paralelipiped are șase fețe, unde fiecare față are patru fețe adiacente și una opusă. De asemenea, fiecare față este paralelă cu opusul său.

Margini

Ele sunt latura obișnuită a două fețe. În total, un paralelipiped are douăsprezece muchii.

zenit

Este punctul comun al trei fețe care sunt adiacente între ele două câte două. Un paralelipiped are opt vârfuri.

Diagonală

Având în vedere două fețe ale unui paralelipiped opus între ele, putem desena un segment de linie care merge de la vertexul unei fețe la vertexul opus al celeilalte.

Acest segment este cunoscut sub numele de diagonala paralelepipedului. Fiecare paralelipiped are patru diagonale.

Centru

Este punctul în care se intersectează toate diagonalele.

Caracteristicile paralelipipedului

Așa cum am menționat deja, acest corp geometric are douăsprezece muchii, șase fețe și opt vârfuri.

Într-un paralelipiped, pot fi identificate trei seturi formate din patru muchii, care sunt paralele între ele. Mai mult, marginile seturilor menționate au și proprietatea de a avea aceeași lungime.

O altă proprietate pe care o dețin paralelepipedele este aceea că sunt convexe, adică dacă luăm orice pereche de puncte aparținând interiorului paralelipipedului, segmentul determinat de perechea de puncte menționată va fi, de asemenea, în cadrul paralelepipedului.

În plus, paralelipipedele care sunt poliedre convexe sunt conforme cu teorema lui Euler pentru poliedre, ceea ce ne oferă o relație între numărul de fețe, numărul de muchii și numărul de vârfuri. Această relație este dată sub forma următoarei ecuații:

C + V = A + 2

Această caracteristică este cunoscută sub numele de caracteristica Euler.

Unde C este numărul de fețe, V numărul de vârfuri și A numărul de muchii.

Tipuri

Putem clasifica paralelipipede pe baza fețelor lor în următoarele tipuri:

Orthohedron

Ele sunt paralelipipedele în care fețele lor sunt formate din șase dreptunghiuri. Fiecare dreptunghi este perpendicular cu cele care au o margine. Sunt cele mai frecvente în viața noastră de zi cu zi, aceasta fiind forma obișnuită a cutiilor și cărămizilor.

Cub regulat sau hexaedru

Acesta este un caz particular al precedentului, în care fiecare dintre fețe este un pătrat.

Cubul face parte și din corpurile geometrice numite solide platonice. Un solid platonic este un poliedru convex, astfel încât atât fețele sale, cât și unghiurile sale interne sunt egale între ele.

romboedru

Este un paralelipiped cu romburi pentru fața sa. Aceste romburi sunt toate egale între ele, deoarece împart margini.

romboedru

Cele șase fețe ale sale sunt romboide. Reamintim că un romboid este un poligon cu patru laturi și patru unghiuri care sunt egale între două și două. Romboidele sunt paralelograme care nu sunt nici pătrate, nici dreptunghiuri, nici rombozi.

Pe de altă parte, paralelipipedele oblice sunt cele în care cel puțin o înălțime nu este de acord cu marginea lor. În această clasificare putem include rhombohedra și rombohedra.

Calcul diagonal

Pentru a calcula diagonala unui orthohedron putem folosi teorema lui Pitagora pentru R ³ .

Reamintim că un ortoedru are caracteristica că fiecare parte este perpendiculară pe laturile care împărtășesc o margine. Din acest fapt putem deduce că fiecare muchie este perpendiculară cu cele care împart un vertex.

Pentru a calcula lungimea unei diagonale a ortoedrului, procedăm după cum urmează:

1. Calculăm diagonala uneia dintre fețe, pe care o vom pune ca bază. Pentru aceasta folosim teorema pitagoreică. Să denumim această diagonală d _b .

2. Atunci cu d _b putem forma un nou triunghi drept, astfel încât ipotenuza triunghiului menționat să fie diagonala căutată D.

3. Folosim din nou teorema lui Pitagore și avem că lungimea acestei diagonale este:

Un alt mod de a calcula diagonalele într-un mod mai grafic este prin adăugarea de vectori liberi.

Reamintim că doi vectori liberi A și B sunt adăugați prin plasarea cozii vectorului B cu vârful vectorului A.

Vectorul (A + B) este cel care începe de la coada lui A și se termină la vârful lui B.

Să luăm în considerare un paralelipiped pentru care dorim să calculăm o diagonală.

Identificăm marginile cu vectori orientați convenabil.

Apoi adăugăm acești vectori, iar vectorul rezultat va fi diagonala paralelepipedului.

Zonă

Zona unui paralelipiped este dată de suma fiecăreia dintre zonele fețelor sale.

Dacă determinăm una dintre părți ca bază,

A _L + 2A _B = suprafață totală

În cazul în care A _L este egală cu suma suprafețelor din toate părțile adiacente bazei, numită zonă laterală și A _B este aria bazei.

În funcție de tipul de paralelipiped cu care lucrăm, putem rescrie această formulă.

Zona unui ortoedru

Este dat de formulă

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplul 1

Având în vedere următorul ortoedru, cu laturile a = 6 cm, b = 8 cm și c = 10 cm, calculați aria paralelipipedului și lungimea diagonalei sale.

Folosind formula pentru zona unui ortoedru avem asta

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Observați că, deoarece este un ortoedru, lungimea oricăreia dintre cele patru diagonale este aceeași.

Folosind teorema pitagoreică pentru spațiu avem asta

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Zona unui cub

Deoarece fiecare muchie are aceeași lungime, avem că a = b și a = c. Înlocuirea formulei anterioare o avem

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Exemplul 2

Caseta unei console de jocuri are forma unui cub. Dacă dorim să înfășurăm această cutie cu hârtie de ambalare, câtă hârtie am cheltui știind că lungimea marginilor cubului este de 45 cm?

Folosind formula pentru aria cubului, obținem asta

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Zona unui romboedru

Deoarece toate fețele lor sunt aceleași, trebuie doar să calculezi aria uneia dintre ele și să o înmulțești cu șase.

Avem că aria unui romboi poate fi calculată prin diagonalele sale cu următoarea formulă

A _R = (Dd) / 2

Folosind această formulă rezultă că suprafața totală a romboedrului este

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemplul 3

Fețele următorului romboedru sunt formate dintr-un rombo ale cărui diagonale sunt D = 7 cm și d = 4 cm. Zona ta va fi

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Zona unui romboedru

Pentru a calcula aria unui romboedru trebuie să calculăm aria romboidelor care o compun. Deoarece paralelipipedele îndeplinesc proprietatea că laturile opuse au aceeași zonă, putem asocia laturile în trei perechi.

În acest fel, avem zona dvs. care va fi

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

În cazul în care b _i sunt bazele asociate laturilor și h _i înălțimea lor relativă corespunzătoare acestor baze.

Exemplul 4

Luați în considerare următorul paralelipiped,

unde latura A și latura A '(latura sa opusă) au o bază b = 10 și o înălțime h = 6. Zona marcată va avea o valoare de

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B și B 'au b = 4 și h = 6, deci

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC și C 'au b = 10 și h = 5, astfel

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

În sfârșit, zona romboedrului este

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumul unui paralelipiped

Formula care ne oferă volumul unui paralelipiped este produsul zonei uneia dintre fețele sale prin înălțimea corespunzătoare acelei fețe.

V = A _C h _C

În funcție de tipul de paralelipiped, această formulă poate fi simplificată.

Astfel avem, de exemplu, că volumul unui ortoedru ar fi dat de

V = abc.

În cazul în care a, b și c reprezintă lungimea marginilor ortoedrului.

Și în cazul particular al cubului este

V = a ³

Exemplul 1

Există trei modele diferite pentru cutii de cookie-uri și doriți să știți în care dintre aceste modele puteți stoca mai multe cookie-uri, adică care dintre cutii are cel mai mare volum.

Primul este un cub a cărui margine are o lungime de = 10 cm

Volumul său va fi V = 1000 cm ³

Al doilea are margini b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Și , prin urmare volumul său este V = 765 cm ³

Iar al treilea are e = 9 cm, f = 9 cm și g = 13 cm

Și volumul său este V = 1053 cm ³

Prin urmare, caseta cu cel mai mare volum este a treia.

O altă metodă pentru a obține volumul unui paralelipiped este utilizarea algebrei vectoriale. În special, produsul triplu punct.

Una dintre interpretările geometrice pe care le are produsul triplu scalar este cea a volumului paralelepipedului, ale cărui muchii sunt trei vectori care împart același vertex ca punct de plecare.

În acest fel, dacă avem un paralelipiped și vrem să știm care este volumul său, este suficient să-l reprezentăm într-un sistem de coordonate în R ^3, făcând ca unul dintre vârfurile sale să coincidă cu originea.

Apoi reprezentăm marginile care coincid la origine cu vectorii așa cum se arată în figură.

Și în acest fel avem că volumul paralelipipedului este dat de

V = - AxB ∙ C-

Sau, în mod echivalent, volumul este determinantul matricei 3 × 3, format din componentele vectorilor de margine.

Exemplul 2

Atunci când reprezentăm următorul paralelipiped în R ³ , putem vedea că vectorii care îl determină sunt următorii

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) și w = (-0,25, -4, 4)

Folosind produsul triplu scalar pe care îl avem

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Din aceasta concluzionăm că V = 60

Să analizăm acum următorul paralelipiped în R3 ale cărui muchii sunt determinate de vectori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) și C = (3, 4, 4)

Folosirea determinanților ne oferă asta

Astfel, avem că volumul paralelipipedului este 112.

Ambele sunt moduri echivalente de calcul al volumului.

Paralelipiped perfect

Un ortoedru este cunoscut sub numele de cărămidă Euler (sau blocul lui Euler) care îndeplinește proprietatea că atât lungimea marginilor sale, cât și lungimea diagonalelor fiecăreia dintre fețele sale sunt numere întregi.

Deși Euler nu a fost primul om de știință care a studiat ortoedrele care îndeplinesc această proprietate, a găsit rezultate interesante despre acestea.

Cea mai mică cărămidă Euler a fost descoperită de Paul Halcke, iar lungimile marginilor sale sunt a = 44, b = 117 și c = 240.

O problemă deschisă în teoria numerelor este următoarea

Există ortohedre perfecte?

În prezent, la această întrebare nu a fost răspuns, deoarece nu a fost posibil să se demonstreze că astfel de corpuri nu există, dar nici nu a fost găsită.

Ceea ce s-a arătat până acum este că există paralelipipede perfecte. Primul care a fost descoperit are lungimea marginilor sale valorile 103, 106 și 271.

Bibliografie

1. Guy, R. (1981). Probleme nerezolvate în teoria numerelor. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie. Progresul.
3. Leithold, L. (1992). Calculul cu geometrie analitică. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Desen tehnic: caiet de activități 3 al II-lea bacalarat. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexic: continental.