PARABOLOID HIPERBOLIC: DEFINIȚIE, PROPRIETĂȚI ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață a cărei ecuație generală în coordonate carteziene (x, y, z) satisface următoarea ecuație:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Denumirea "paraboloid" provine de la faptul că variabila z depinde de pătratele variabilelor x și y. În timp ce adjectivul „hiperbolic” se datorează faptului că la valori fixe ale z avem ecuația unei hiperbole. Forma acestei suprafețe este similară cu cea a unei șa.

Figura 1. Paraboloid hiperbolic z = x ² - y ² . Sursa: F. Zapata folosind Wolfram Mathematica.

Descrierea paraboloidului hiperbolic

Pentru a înțelege natura paraboloidului hiperbolic, se va face următoarea analiză:

1.- Vom lua cazul particular a = 1, b = 1, adică ecuația carteziană a paraboloidului rămâne ca z = x ² - y ² .

2.- Avioanele sunt considerate paralele cu planul ZX, adică y = ctte.

3.- Cu y = ctte rămâne z = x ² - C, care reprezintă parabole cu ramurile în sus și vertexul sub planul XY.

Figura 2. Familia curbelor z = x ² - C. Sursa: F. Zapata folosind Geogebra.

4.- Cu x = ctte rămâne z = C - y ² , care reprezintă parabole cu ramurile în jos și vertexul deasupra planului XY.

Figura 3. Familia curbelor z = C - y ² . Sursa: F. Zapata prin Geogebra.

5.- Cu z = ctte rămâne C = x ² - y ² , care reprezintă hiperbole în planuri paralele cu planul XY. Când C = 0 există două linii (la + 45º și -45º față de axa X) care se intersectează la origine pe planul XY.

Figura 4. Familia de curbe x ² - y ² = C. Sursa: F. Zapata folosind Geogebra ..

Proprietățile paraboloidului hiperbolic

1.- Patru puncte diferite din spațiul tridimensional definesc unul și un singur paraboloid hiperbolic.

2.- Paraboloidul hiperbolic este o suprafață dublă guvernată. Aceasta înseamnă că, în ciuda faptului că este o suprafață curbă, două linii diferite trec prin fiecare punct al unui paraboloid hiperbolic care aparține total paraboloidului hiperbolic. Cealaltă suprafață care nu este un plan și este condusă de două ori este hiperboloida revoluției.

Tocmai a doua proprietate a paraboloidului hiperbolic a permis utilizarea largă a acesteia în arhitectură, deoarece suprafața poate fi generată din grinzi sau șiruri drepte.

A doua proprietate a paraboloidului hiperbolic permite o definiție alternativă a acestuia: este suprafața care poate fi generată de o linie dreaptă mișcată paralelă cu un plan fix și taie două linii fixe care servesc drept ghid. Figura următoare clarifică această definiție alternativă a paraboloidului hiperbolic:

Figura 5. Paraboloidul hiperbolic este o suprafață dublă guvernată. Sursa: F. Zapata.

Exemple lucrate

- Exemplul 1

Arătați că ecuația: z = xy, corespunde unui paraboloid hiperbolic.

Soluţie

Se va aplica o transformare la variabilele x și y corespunzătoare unei rotații a axelor carteziene cu privire la axa Z de + 45º. Vechile coordonate x și y sunt transformate în noile x 'și y' conform următoarelor relații:

x = x '- y'

y = x '+ y'

în timp ce coordonata z rămâne aceeași, adică z = z '.

Substituind ecuația z = xy avem:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Prin aplicarea produsului notabil al diferenței cu suma egală cu diferența pătratelor, avem:

z '= x' ² - y ' ²

care corespunde clar definiției inițial date de paraboloid hiperbolic.

Interceptarea planelor paralele cu axa XY cu paraboloidul hiperbolic z = xy determină hiperbolele echilaterale care au ca asimptote planurile x = 0 și y = 0.

- Exemplul 2

Determinați parametrii a și b ai paraboloidului hiperbolic care trece prin punctele A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) și D (2, -1, 32/9).

Soluţie

Conform proprietăților sale, patru puncte din spațiul tridimensional determină un singur paraboloid hiperbolic. Ecuația generală este:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Înlocuim valorile date:

Pentru punctul A avem 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , o ecuație care este satisfăcută indiferent de valorile parametrilor a și b.

Înlocuind punctul B, obținem:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

În timp ce pentru punctul C rămâne:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

În sfârșit, pentru punctul D obținem:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Ceea ce este identic cu ecuația anterioară. În cele din urmă, sistemul de ecuații trebuie rezolvat:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Scăzând a doua ecuație din prima dă:

27/9 = 3 / a ² ceea ce presupune că a ² = 1.

Într-un mod similar, a doua ecuație este scăzută din patrulaterul primei, obținând:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Ceea ce este simplificat ca:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Pe scurt, paraboloidul hiperbolic care trece prin punctele date A, B, C și D are o ecuație carteziană dată de:

z = x ² - (4/9) y ²

- Exemplul 3

Conform proprietăților paraboloidului hiperbolic, două linii trec prin fiecare punct care este complet conținut în el. Pentru cazul z = x ^ 2 - y ^ 2 găsiți ecuația celor două linii care trec prin punctul P (0, 1, -1) aparținând clar paraboloidului hiperbolic, astfel încât toate punctele acestor linii aparțin și la fel.

Soluţie

Folosind produsul remarcabil al diferenței pătratelor, ecuația paraboloidului hiperbolic poate fi scrisă astfel:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Unde c este o constantă zero.

Ecuația x + y = cz, iar ecuația x - y = 1 / c corespund la două planuri cu vectori normali n = <1,1, -c> și m = <1, -1,0>. Produsul vectorial mxn = <- c, -c, -2> ne oferă direcția liniei de intersecție a celor două planuri. Atunci una dintre liniile care trece prin punctul P și aparține paraboloidului hiperbolic are o ecuație parametrică:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Pentru a determina c substituim punctul P în ecuația x + y = cz, obținând:

c = -1

În mod similar, dar luând în considerare ecuațiile (x - y = kz) și (x + y = 1 / k), avem ecuația parametrică a liniei:

= <0, 1, -1> + s cu k = 1.

Pe scurt, cele două rânduri:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> și = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Ele sunt complet conținute în paraboloidul hiperbolic z = x ² - y ² care trece prin punctul (0, 1, -1).

Ca verificare, să presupunem t = 1 care ne oferă punctul (1,2, -3) de pe prima linie. Trebuie să verificați dacă este și pe paraboloid z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Ceea ce confirmă că într-adevăr aparține suprafeței paraboloidului hiperbolic.

Paraboloidul hiperbolic în arhitectură

Figura 6. Oceanograficul din Valencia (Spania) Sursa: Wikimedia Commons.

Paraboloidul hiperbolic a fost folosit în arhitectură de către marii arhitecți de avangardă, printre care ies în evidență numele arhitectului spaniol Antoni Gaudí (1852-1926) și, în special, și spaniolul Félix Candela (1910-1997).

Mai jos sunt câteva lucrări bazate pe paraboloidul hiperbolic:

-Capela orașului Cuernavaca (Mexic) lucrează arhitectul Félix Candela.

-Oceanograficul din Valencia (Spania), de asemenea, de Félix Candela.

Referințe

1. Enciclopedia matematicii. Suprafata rulata. Recuperat din: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloid hiperbolic. Recuperat de la: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. „Paraboloid hiperbolic”. Din MathWorld - o resursă web Wolfram. Recuperat de la: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Recuperat din: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Recuperat din: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Suprafata rulata. Recuperat din: en.wikipedia.com