CONJUGĂ UNGHIURI INTERNE ȘI EXTERNE: EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2024

Cele colțare conjugate sunt cele adăugate la rezultatele să fie 360, indiferent de unghiurile menționate sunt adiacente sau nu. În figura 1 sunt prezentate două unghiuri conjugate, notate α și β.

În acest caz, unghiurile α și β din figură au un vertex comun și laturile lor sunt comune, de aceea sunt adiacente. Relația dintre ei este exprimată astfel:

α + β = 360º

Figura 1. Două unghiuri centrale conjugate, sumă. Sursa: Wikimedia Commons. Nu a fost furnizat niciun autor care poate fi citit de mașină. Thiago R Ramos și-a asumat (bazat pe revendicări de copyright). Este o clasificare a unghiurilor după suma lor. Alte definiții importante includ unghiuri complementare, a căror sumă este 90º, și unghiuri suplimentare, care totalizează 180º.

Pe de altă parte, să luăm în considerare acum două linii paralele tăiate de un secant, a cărui dispunere este prezentată mai jos:

Figura 2. Liniile paralele tăiate de un secant. Sursa: F. Zapata.

Liniile MN și PQ sunt paralele, în timp ce linia RS este secantă, intersectând paralelele în două puncte. După cum se poate observa, această configurație determină formarea a 8 unghiuri, care au fost notate cu litere mici.

Ei bine, conform definiției date la început, unghiurile a, b, c și d sunt conjugate. În același mod e, f, g și h sunt, deoarece ambele cazuri sunt adevărate:

a + b + c + d = 360º

ȘI

e + f + g + h = 360º

Pentru această configurație, două unghiuri sunt conjugate dacă sunt pe aceeași parte în raport cu linia de secență RS și ambele sunt interne sau externe. În primul caz vorbim de unghiuri conjugate interne, în timp ce în al doilea, ele sunt unghiuri conjugate externe.

Exemple

În figura 2, unghiurile exterioare sunt cele care sunt în afara regiunii delimitate de liniile MN și PQ, ele sunt unghiurile A, B, G și H. În timp ce unghiurile care sunt între cele două linii sunt C, D, E și F.

Acum este necesar să analizăm care unghiuri sunt la stânga și care la dreapta secantului.

În stânga RS sunt unghiurile A, C, E și G. Și la dreapta sunt unghiurile B, D, F și H.

Procedăm imediat la determinarea perechilor de unghiuri conjugate, conform definiției date în secțiunea anterioară:

-A și G, externe și la stânga RS.

-D și F, interne și la dreapta RS.

-B și H, externe și la dreapta RS.

-C și E, interne și la stânga RS.

Proprietatea unghiurilor conjugate între linii paralele

Unghiurile conjugate între liniile paralele sunt suplimentare, adică suma lor este egală cu 180º. În acest fel, pentru figura 2, este adevărat:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Perechile de unghiuri corespunzătoare pentru liniile paralele

Ele sunt cele care sunt de aceeași parte a liniei secante, nu sunt adiacente și una dintre ele este internă și cealaltă este externă. Este important să le vizualizați, deoarece măsura lor este aceeași, deoarece sunt unghiuri opuse de vertex.

Revenind la figura 2, perechile de unghiuri corespunzătoare sunt identificate ca:

-A și E

-C și G

-B și F

-D și H

Unghiurile interne ale unui patrulater

Quadrilaterale sunt poligoane pe 4 fețe, printre care pătratul, dreptunghiul, trapezul, paralelograma și rombo, de exemplu. Indiferent de forma lor, în oricare dintre ele este adevărat că suma unghiurilor lor interne este de 360º, de aceea îndeplinesc definiția dată la început.

Să vedem câteva exemple de patrulaterale și cum să calculăm valoarea unghiurilor lor interne conform informațiilor din secțiunile precedente:

Exemple

a) Trei dintre unghiurile unui patrulater măsoară 75º, 110º și 70º. Cât trebuie să măsoare unghiul rămas?

b) Aflați valoarea unghiului ∠Q din figura 3 i.

c) Calculați măsura unghiului ∠A din figura 3 ii.

Solutie la

Fie α unghiul lipsă, este sigur că:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Soluție b

Figura 3i prezentată este un trapez și două dintre unghiurile sale interne sunt drepte, care au fost marcate cu un pătrat colorat la colțuri. Pentru acest patrulater se verifică următoarele:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Prin urmare:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Soluție c

Quadrilaterul din figura 3 ii este, de asemenea, un trapez, pentru care este adevărat:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Prin urmare:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Pentru a determina unghiul solicitat în enunț, folosim că ∠A = 4x - 5. Înlocuind valoarea calculată anterior de x rezultă că ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Exerciții

- Exercitiul 1

Știind că unul dintre unghiurile prezentate este 125º, găsiți măsurile celor 7 unghiuri rămase în figura următoare și justificați răspunsurile.

Figura 4. Liniile și unghiurile de exercițiu 1. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Unghiul 6 și unghiul 125º sunt conjugate interne, a căror sumă este de 180º, în funcție de proprietatea unghiurilor conjugate, prin urmare:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Pe de altă parte, ∠6 și ∠8 sunt unghiuri opuse de vertex, a căror măsură este aceeași. Prin urmare, ∠8 măsoară 55º.

Unghiul ∠1 este, de asemenea, opus vertexului la 125º, atunci putem afirma că ∠1 = 125º. De asemenea, putem apela la faptul că perechile de unghiuri corespunzătoare au aceeași măsură. În figură aceste unghiuri sunt:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Exercițiul 2

Găsiți valoarea x în figura următoare și valorile tuturor unghiurilor:

Figura 5. Linii și unghiuri pentru exercițiu 2. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Deoarece sunt perechi corespunzătoare, rezultă că F = 73º. Pe de altă parte, suma perechilor conjugate este de 180º, deci:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

În cele din urmă valoarea lui x este:

x = 87/3 = 29

În ceea ce privește toate unghiurile, acestea sunt listate în figura următoare:

Figura 6. Unghiuri rezultate din exercițiul 2. Sursa: F. Zapata.

Referințe

1. Grupuri unghi. Explicații unghiuri complementare, suplimentare și explicative. Recuperat din: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Geometrie și trigonometrie plană și spațială. Grupul Cultural Patria
3. Corral, M. Matematica LibreTexturi: unghiuri. Recuperat din: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Clasificarea și construirea unghiurilor prin măsurarea lor. Recuperat din: mathemania.com/
5. Wentworth, Geometria planului G. Recuperat de la: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Unghiuri conjugate. Recuperat de la: es.wikipedia.org.