PROCESUL POLTROPIC: CARACTERISTICI, APLICAȚII ȘI EXEMPLE - FIZIC - 2025

Un procedeu poltropic este un proces termodinamic care are loc atunci când relația dintre presiunea P și volumul V dată de PV ⁿ este păstrată constantă. Exponentul n este un număr real, în general între zero și infinit, dar în unele cazuri poate fi negativ.

Valoarea lui n se numește indice de politropie și este important de menționat că în timpul unui proces termodinamic politropic, indicele menționat trebuie să mențină o valoare fixă, în caz contrar, procesul nu va fi considerat politropic.

Figura 1. Ecuația caracteristică a unui proces termodinamic politropic. Sursa: F. Zapata.

Caracteristicile proceselor politropice

Unele cazuri caracteristice ale proceselor politropice sunt:

- Procesul izoterm (la temperatura constantă T), în care exponentul este n = 1.

- Proces izobar (la presiune constantă P), în acest caz n = 0.

- Procesul izoic (la volumul constant V), pentru care n = + ∞.

- Procese adiabatice (la S entropie constantă), în care exponentul este n = γ, unde γ este constanta adiabatică. Această constantă este coeficientul dintre capacitatea de căldură la presiune constantă Cp împărțit la capacitatea de căldură la volum constant Cv:

γ = Cp / Cv

- Orice alt proces termodinamic care nu este unul dintre cazurile anterioare. dar care îndeplinește PV ⁿ = ctte cu un indice poltropic real și constant n va fi, de asemenea, un proces poltropic.

Figura 2. Diferite cazuri caracteristice ale proceselor termodinamice politropice. Sursa: Wikimedia Commons.

Aplicații

Una dintre principalele aplicații ale ecuației politropice este calcularea lucrărilor efectuate de un sistem termodinamic închis, când trece de la o stare inițială la o stare finală într-un mod cvasistatic, adică în urma unei succesiuni de stări de echilibru.

Lucrați la procese politropice pentru diferite valori ale n

Pentru n ≠ 1

Lucrarea mecanică W efectuată de un sistem termodinamic închis este calculată prin expresia:

W = ∫P.dV

Unde P este presiune și V este volum.

Ca și în cazul unui proces politrop, relația dintre presiune și volum este:

Avem lucrul mecanic realizat în timpul unui proces politrop, care începe într-o stare inițială 1 și se termină în starea finală 2. Toate acestea apar în următoarea expresie:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Prin substituirea valorii constantei în expresia de lucru, obținem:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

În cazul în care substanța de lucru poate fi modelată ca un gaz ideal, avem următoarea ecuație de stare:

PV = mRT

Unde m este numărul de moli ai gazului ideal și R este constanta universală a gazului.

Pentru un gaz ideal care urmează un proces poltropic cu un indice de politropie diferit de unitate și care trece de la o stare cu temperatura inițială T ₁ la o altă stare cu temperatura T ₂ , munca depusă este dată de următoarea formulă:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Pentru n → ∞

Conform formulei pentru lucrarea obținută în secțiunea anterioară, avem în vedere că lucrarea unui proces politrop cu n = ∞ este nulă, deoarece expresia lucrării este împărțită la infinit și, prin urmare, rezultatul tinde spre zero .

Un alt mod de a ajunge la acest rezultat este să pornim de la relația P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , care poate fi rescrisă după cum urmează:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Luând a noua rădăcină în fiecare membru, obținem:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

În cazul în care n → ∞, avem (V ₂ / V1) = 1, ceea ce înseamnă că:

V ₂ = V ₁

Adică, volumul nu se schimbă într-un proces poltropic cu n → ∞. Prin urmare, diferențialul de volum dV în integralitatea lucrărilor mecanice este 0. Acest tip de procese poltropice sunt cunoscute și sub denumirea de procese izoicore sau procese constante de volum.

Pentru n = 1

Din nou avem expresia expresia pentru muncă:

W = ∫P dV

În cazul unui proces poltropic cu n = 1, relația dintre presiune și volum este:

PV = constant = C

Rezolvând P din expresia anterioară și înlocuind, avem munca depusă pentru a trece de la starea inițială 1 la starea finală 2:

Adică:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Deoarece stările inițiale și finale sunt bine determinate, la fel va fi și ctte. Adică:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

În cele din urmă, avem următoarele expresii utile pentru a găsi munca mecanică a unui sistem politropic închis în care n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Dacă substanța de lucru constă din moli de gaz ideal, atunci se poate aplica ecuația ideală de gaz: PV = mRT

În acest caz, deoarece PV ₁ = ctte, avem în vedere că un proces politrop cu n = 1 este un proces la temperatura constantă T (izotermă), astfel încât se pot obține următoarele expresii pentru lucrare:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Figura 3. Un iciclu de topire, de exemplu un proces izoterm. Sursa: Pixabay.

Exemple de procese politropice

- Exemplul 1

Să presupunem un cilindru cu un piston mobil umplut cu un kilogram de aer. Inițial aerul ocupă un volum V ₁ = 0,2 m ³ la o presiune P ₁ = 400 kPa. Urmează un procedeu poltropic cu n = γ = 1,4, a cărui stare finală are presiune P ₂ = 100 kPa. Determinați lucrările efectuate de aer pe piston.

Soluţie

Când indicele de politropie este egal cu constanta adiabatică, există un proces în care substanța de lucru (aerul) nu face schimb de căldură cu mediul și, prin urmare, entropia nici nu se schimbă.

Pentru aer, un gaz ideal diatomic, avem:

γ = Cp / Cv, cu Cp = (7/2) R și Cv = (5/2) R

Asa de:

γ = 7/5 = 1,4

Folosind expresia procesului poltropic, se poate determina volumul final al aerului:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Acum avem condițiile pentru a aplica formula de lucru desfășurată într-un proces politrop pentru n ≠ 1 obținut mai sus:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Înlocuirea valorilor corespunzătoare pe care le avem:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Exemplul 2

Presupuneți același cilindru din exemplul 1, cu un piston mobil umplut cu un kilogram de aer. Inițial aerul ocupă un volum V1 = 0,2 m ³ la o presiune P1 = 400 kPa. Dar spre deosebire de cazul anterior, aerul se extinde izotermic pentru a ajunge la o presiune finală P2 = 100 kPa. Determinați lucrările efectuate de aer pe piston.

Soluţie

După cum s-a văzut anterior, procesele izoterme sunt procese politropice cu indice n = 1, deci este adevărat că:

P1 V1 = P2 V2

În acest fel, volumul final poate fi detașat cu ușurință pentru a obține:

V2 = 0,8 m ³

Apoi, folosind expresia de lucru obținută anterior pentru cazul n = 1, avem în vedere că lucrarea efectuată de aer pe piston în acest proces este:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodinamica. Ediția a VII-a. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: fizică pentru știință și inginerie. Volumul 4. Fluide și termodinamică. Editat de Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Prima lege a termodinamicii. Recuperat de la: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fizica oamenilor de știință și inginerie: o abordare strategică. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentele fizicii. 9. Ed. Cengage Learning.
7. Universitatea din Sevilla. Mașini termice Recuperat din: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Procesul politropic. Recuperat de la: wikiwand.com.