NUMERE PRIME: CARACTERISTICI, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cele numere prime , de asemenea , numit prime, sunt acele numere absolute naturale , care sunt doar divizibile cu ei înșiși și 1. Această categorie de numere cum ar fi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 și multe la care se adauga.

În schimb, un număr compus este divizibil de la sine, cu 1 și cel puțin un alt număr. Avem, de exemplu, 12, care este divizibil cu 1, 2, 4, 6 și 12. Prin convenție, 1 nu este inclus în lista numerelor prime sau în lista compușilor.

Figura 1. Unele numere prime. Sursa: Wikimedia Commons.

Cunoașterea numerelor prime datează din vremurile antice; vechii egipteni le foloseau deja și cu siguranță erau cunoscuți cu mult înainte.

Aceste numere sunt foarte importante, deoarece orice număr natural poate fi reprezentat de produsul numerelor prime, această reprezentare fiind unică, cu excepția ordinii factorilor.

Acest fapt este stabilit pe deplin într-o teoremă numită teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că numerele care nu sunt prime sunt formate neapărat din produse cu numere prime.

Caracteristicile numerelor prime

Iată principalele caracteristici ale numerelor prime:

-Sunt infinite, deoarece oricât de mare este un număr prim, puteți găsi întotdeauna unul mai mare.

-Dacă un număr prim p nu împarte exact un alt număr a, atunci se spune că p și a sunt prime unul față de celălalt. Când se întâmplă acest lucru, singurul divizor comun pe care îl au ambii este 1.

Nu este necesar ca a să fie un prim absolut. De exemplu, 5 este prim și, deși 12 nu, ambele numere sunt prime unul față de celălalt, deoarece ambele au 1 ca divizor comun.

-Când un număr prim p împarte o putere a numărului n, el împarte și n. Să luăm în considerare 100, care este o putere de 10, mai exact 10 ² . Se întâmplă ca 2 să împartă atât 100, cât și 10.

-Toate numerele prime sunt impare, cu excepția a 2, de aceea ultima sa cifră este 1, 3, 7 sau 9. 5 nu este inclusă, deoarece, deși este impar și prim, nu este niciodată cifra finală a unui alt număr prim. De fapt, toate numerele care se termină în 5 sunt multipli ale acestora și, prin urmare, nu sunt prime.

-Dacă p este un prim și divizor al produsului a două numere ab, atunci p împarte unul dintre ele. De exemplu, numărul prim 3 împarte produsul 9 x 11 = 99, deoarece 3 este divizor de 9.

Cum să știți dacă un număr este prim

Primalitatea este numele dat calității de a fi prim. Ei bine, matematicianul francez Pierre de Fermat (1601-1665) a găsit o modalitate de a verifica primalitatea unui număr, în așa-numita mică teoremă a lui Fermat, care spune:

"Având în vedere un număr natural prim p și orice număr natural mai mare decât 0, este adevărat că ^p - a este un multiplu de p, atât timp cât p este prim".

Putem confirma acest lucru folosind un număr mic, de exemplu să presupunem că p = 4, despre care știm deja că nu este prim și deja = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Numărul 1290 nu este exact divizibil cu 4, prin urmare 4 nu este un număr prim.

Să facem testul acum cu p = 5, care este prim și ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 este divizibil cu 5, deoarece orice număr care se termină în 0 sau 5 este. De fapt 7760/5 = 1554. Întrucât mica teoremă a lui Fermat deține, putem asigura că 5 este un număr prim.

Dovada prin teoremă este eficientă și directă cu un număr mic, în care operația este ușor de efectuat, dar ce să facem dacă ni se cere să aflăm primordialitatea unui număr mare?

În acest caz, numărul este împărțit succesiv între toate numerele prime mai mici, până când se găsește o diviziune exactă sau coeficientul este mai mic decât divizorul.

Dacă orice diviziune este exactă, înseamnă că numărul este compus și dacă coeficientul este mai mic decât divizorul, înseamnă că numărul este prim. Îl vom pune în practică în exercițiul 2 rezolvat.

Modalități de a găsi un număr prim

Există infinit de numeroase prime și nu există o singură formulă care să le determine. Cu toate acestea, uitându-vă la unele numere prime ca acestea:

3, 7, 31, 127 …

Se observă că acestea au forma 2 ⁿ - 1, cu n = 2, 3, 5, 7, 9 … Ne asigurăm că:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Dar nu ne putem asigura că, în general, 2 ⁿ - 1 este prim, deoarece există unele valori ale n pentru care nu funcționează, de exemplu 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Și numărul 15 nu este primar, deoarece se termină în 5. Cu toate acestea, una dintre cele mai mari primele cunoscute, găsită prin calcule computerizate, este de forma 2 ⁿ - 1 cu:

n = 57.885.161

Formula lui Mersenne ne asigură că 2 ^p - 1 este întotdeauna prim, atât timp cât p este prim și. De exemplu, 31 este prim, deci este sigur că 2 ³¹ - 1 este de asemenea prim :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Cu toate acestea, formula vă permite să determinați doar unele numere prime, nu toate.

Formula lui Euler

Următorul polinom permite găsirea numerelor prime cu condiția ca n să fie între 0 și 39:

P (n) = n ² + n + 41

Mai târziu în secțiunea de exerciții rezolvate există un exemplu de utilizare a acestuia.

Sita Eratostenei

Eratosthenes a fost un fizician și matematician din Grecia Antică care a trăit în secolul al III-lea î.H.

-Numerele sunt plasate într-un tabel precum cel arătat în animație.

-Unele numere sunt apoi defalcate, cu excepția a 2 despre care știm că este prim. Toți ceilalți sunt multipli ai acestora și, prin urmare, nu sunt primiți.

-Multiplele de 3, 5, 7 și 11 sunt, de asemenea, marcate, excluzând toate pentru că știm că sunt prime.

-Multișii de 4, 6, 8, 9 și 10 sunt deja marcați, deoarece sunt compuși și, prin urmare, multipli ai unora dintre primele indicate.

-În final, numerele care rămân nemarcate sunt prime.

Figura 2. Animarea sitei Eratosthenes. Sursa: Wikimedia Commons.

Exerciții

- Exercitiul 1

Utilizând polinomul Euler pentru numere prime, găsiți 3 numere mai mari de 100.

Soluţie

Acesta este polinomul propus de Euler pentru a găsi numere prime, care funcționează pentru valori de n între 0 și 39.

P (n) = n ² + n + 41

Prin încercare și eroare, selectăm o valoare de n, de exemplu n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Deoarece n = 8 produce un număr prim mai mare de 100, atunci evaluăm polinomul pentru n = 9 și n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Exercițiul 2

Aflați dacă următoarele numere sunt prime:

a) 13

b) 191

Solutie la

13 este suficient de mic pentru a folosi mica teoremă a lui Fermat și ajutorul calculatorului.

Folosim a = 2 astfel încât numerele să nu fie prea mari, deși a = 3, 4 sau 5 pot fi de asemenea utilizate:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 este divizibil cu 2, deoarece este egal, prin urmare 13 este prim. Cititorul poate corobora acest lucru făcând același test cu a = 3.

Soluție b

191 este prea mare pentru a demonstra cu teorema și un calculator comun, dar putem găsi diviziunea dintre fiecare număr prim. Omitem divizarea la 2 pentru că 191 nu este egal și diviziunea nu va fi exactă sau cotul mai mic de 2.

Încercăm să împărțim la 3:

191/3 = 63.666 …

Și nu dă exact și nici cotantul este mai mic decât divizorul (63.666 … este mai mare decât 3)

Încercăm astfel să împărțim 191 între primele 5, 7, 11, 13 și nici nu se ajunge la divizarea exactă, nici la cotul mai mic decât divizorul. Până când este împărțit la 17:

191/17 = 11, 2352 …

Deoarece nu este exact și 11.2352 … este mai mic decât 17, numărul 191 este prim.

Referințe

1. Baldor, A. 1986. Aritmetica. Ediții și distribuții Codex.
2. Prieto, C. Numerele prime. Recuperat din: paginas.matem.unam.mx.
3. Proprietăți ale numerelor prime. Recuperat din: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Numere prime: cum să le găsești cu sita Eratostenes. Recuperat din: smartick.es.
5. Wikipedia. Număr prim. Recuperat de la: es.wikipedia.org.