NUMĂRUL EULER SAU NUMĂRUL E: CÂT MERITĂ, PROPRIETĂȚI, APLICAȚII - MATEMATICA - 2025

Sau numărul Euler e este o constantă matematică bine - cunoscut , care apare frecvent în numeroase aplicații științifice și economice, împreună cu tt numărul și alte numere importante în matematică.

Un calculator științific returnează următoarea valoare pentru numărul e:

Figura 1. Numărul lui Euler apare frecvent în Știință. Sursa: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Dar multe alte zecimale sunt cunoscute, de exemplu:

e = 2.71828182845904523536 …

Iar computerele moderne au găsit miliarde de zecimale pentru numărul e.

Este un număr irațional, ceea ce înseamnă că are un număr infinit de zecimale fără niciun tipar de repetare (secvența 1828 apare de două ori la început și nu se mai repetă).

De asemenea, înseamnă că numărul e nu poate fi obținut ca coeficient al două numere întregi.

Istorie

Numărul e a fost identificat de savantul Jacques Bernoulli în 1683, când studia problema interesului compus, dar anterior a apărut indirect în lucrările matematicianului scoțian John Napier, care a inventat logaritmele în jurul anului 1618.

Cu toate acestea, în 1727 a fost Leonhard Euler care i-a dat numărul de nume e și a studiat intens proprietățile sale. Acesta este motivul pentru care este cunoscut și ca număr Euler și, de asemenea, ca bază naturală pentru logaritmele naturale (un exponent) utilizate în prezent.

Cât valorează numărul e?

Numărul e merită:

e = 2.71828182845904523536 …

Elipsă înseamnă că există un număr infinit de zecimale și, de fapt, cu computerele de astăzi, milioane sunt cunoscute.

Reprezentări ale numărului e

Există mai multe moduri de a defini e pe care le descriem mai jos:

Numărul e ca limită

Unul dintre diferitele moduri de exprimare a numărului e este cel pe care omul de știință Bernoulli l-a găsit în lucrările sale de interes compus:

În care trebuie să faceți valoarea n un număr foarte mare.

Este ușor de verificat, cu ajutorul unui calculator, că atunci când n este foarte mare, expresia anterioară tinde la valoarea e dată mai sus.

Desigur, ne putem întreba cât de mare se poate face n, așa că haideți să încercăm numere rotunde, de exemplu:

n = 1000; 10.000 sau 100.000

În primul caz, obținem e = 2.7169239 … În al doilea e = 2.7181459 … iar în al treilea este mult mai aproape de valoarea e: 2.7182682. Ne putem imagina deja că cu n = 1.000.000 sau mai mare, aproximarea va fi și mai bună.

În limbajul matematic, procedura de a face n să se apropie și să se apropie de o valoare foarte mare se numește limita la infinit și se notează astfel:

Pentru a indica infinitul se folosește simbolul „∞”.

Numărul e ca sumă

De asemenea, este posibil să se definească numărul e prin această operație:

Cifrele care apar în numitor: 1, 2, 6, 24, 120 … corespund operației n!, Unde:

Și prin definiția 0! = 1.

Este ușor să verificați dacă cu cât se adaugă mai multe, cu atât este mai precis numărul atins.

Haideți să facem câteva teste cu calculatorul, adăugând tot mai multe suplimente:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Cu cât se adaugă mai mulți termeni, cu atât rezultatul seamănă mai mult cu e.

Matematicienii au conceput o notație compactă pentru aceste sume care implică mulți termeni, folosind simbolul însumării Σ:

Această expresie este citită astfel: „suma de la n = 0 la infinitul de 1 între n factorial”.

Numărul e din punct de vedere geometric

Numărul e are o reprezentare grafică legată de aria de sub graficul curbei:

y = 1 / x

Când valorile x sunt între 1 și e, această zonă este egală cu 1, așa cum este ilustrat în figura următoare:

Figura 2. Reprezentarea grafică a numărului e: zona de sub curba 1 / x, între x = 1 și x = e valorează 1. Sursa: F. Zapata.

Proprietățile numărului e

Unele dintre proprietățile numărului e sunt:

-Irațional, cu alte cuvinte, nu poate fi obținut doar prin împărțirea a două numere întregi.

-Numărul e este, de asemenea, un număr transcendent, ceea ce înseamnă că e nu este o soluție la vreo ecuație polinomială.

-Este legat de alte patru numere celebre în domeniul matematicii, și anume: π, i, 1 și 0, prin identitatea Euler:

-Așa-numitele numere complexe pot fi exprimate prin e.

-Constituie baza logaritmelor naturale sau naturale ale timpului actual (definiția inițială a lui John Napier diferă puțin).

-Este singurul număr astfel încât logaritmul său natural să fie egal cu 1, adică:

Aplicații

Statistici

Numărul e apare foarte frecvent în domeniul probabilității și al statisticilor, apărând în diferite distribuții, cum ar fi normal sau gaussian, Poisson și altele.

Inginerie

În inginerie este frecventă, deoarece funcția exponențială y = e ^x este prezentă în mecanică și electromagnetism, de exemplu. Printre numeroasele aplicații putem menționa:

-Un cablu sau lanț care atârnă de capete, adoptă forma curbei date de:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Un condensator C descărcat inițial, care este conectat în serie la o rezistență R și la o sursă de tensiune V de încărcare, dobândește o anumită încărcare Q ca funcție de timp t dată de:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

biologie

Funcția exponențială y = Ae ^Bx , cu constanta A și B, este utilizată pentru modelarea creșterii celulare și a creșterii bacteriene.

Fizic

În fizica nucleară, descompunerea radioactivă și determinarea vârstei sunt modelate prin datarea prin radiocarburi.

Economie

În calculul dobânzii compuse numărul e apare în mod natural.

Să presupunem că aveți o anumită sumă de bani P _o pentru a investi la o rată a dobânzii de i% pe an.

Dacă lăsați banii timp de 1 an, după aceea, veți avea:

După încă un an fără să îl atingeți, veți avea:

Și continuând în acest fel timp de n ani:

Acum să ne amintim una dintre definițiile e:

Pare un pic expresia pentru P, deci trebuie să existe o relație.

Vom distribui rata nominală a dobânzii i în n perioade de timp, în acest fel rata dobânzii compuse va fi i / n:

Această expresie seamănă mai mult cu limita noastră, dar tot nu este exact aceeași.

Cu toate acestea, după unele manipulări algebrice, se poate demonstra că prin această modificare a variabilei:

Banii noștri P devin:

Și ceea ce este între paranteze, chiar dacă este scris cu litera h, este egal cu argumentul limitei care definește numărul e, lipsind doar limita.

Să facem h → ∞, iar ceea ce este între bretele devine numărul e. Aceasta nu înseamnă că trebuie să așteptăm un timp infinit de lung pentru a ne retrage banii.

Dacă ne uităm îndeaproape, făcând h = n / i și tindem către ∞, ceea ce am făcut de fapt este să răspândim rata dobânzii pe perioade foarte mici de timp:

i = n / h

Aceasta se numește compunere continuă. În acest caz, suma de bani este ușor calculată astfel:

Unde sunt rata dobânzii anuale. De exemplu, atunci când depuneți 12 EUR la 9% pe an, prin capitalizare continuă, după un an aveți:

Cu un profit de 1,13 €.

Referințe

1. Bucurați-vă de matematică. Interes compus: Compoziție periodică. Recuperat de la: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1. Diversified. Ediții CO-BO.
3. García, M. Numărul e în calculul elementar. Recuperat din: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Larson, R. 2010. Calculul unei variabile. Al 9-lea. Ediție. McGraw Hill.