MATRICĂ INVERSĂ: CALCUL ȘI EXERCIȚIU REZOLVAT - MATEMATICA - 2025

Matricea inversă a unei matrice date este matricea care înmulțit cu originalul dă matricea identitate. Matricea inversă este utilă pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, de unde și importanța de a ști cum să o calculăm.

Matricile sunt foarte utile în fizică, inginerie și matematică, deoarece sunt un instrument compact pentru rezolvarea problemelor complexe. Utilitatea matricelor este îmbunătățită atunci când acestea sunt invertibile și inversa lor este, de asemenea, cunoscută.

Figura 1. Este prezentată o matrice generică 2 × 2 și matricea sa inversă. (Pregătit de Ricardo Pérez)

În domeniile procesării grafice, Big Data, Data Mining, Machine Learning și alții, algoritmi eficienți și rapizi sunt folosiți pentru a evalua matricea inversă a matricilor nxn cu n foarte mari, de ordinul a mii sau milioane.

Pentru a ilustra utilizarea matricei inverse în tratarea unui sistem de ecuații liniare, vom începe cu cel mai simplu caz dintre toate: 1 × 1 matrici.

Cel mai simplu caz: o ecuație liniară a unei singure variabile este considerată: 2 x = 10.

Ideea este de a găsi valoarea lui x, dar se va face „matrice”.

Matricea M = (2) care înmulțește vectorul (x) este o matrice 1 × 1 care are ca rezultat vectorul (10):

M (x) = (10)

Inversul matricei M este notat cu M ^-1 .

Modul general de a scrie acest „sistem liniar” este:

MX = B, unde X este vectorul (x) și B este vectorul (10).

Prin definiție, matricea inversă este cea care înmulțită cu matricea originală are ca rezultat matricea de identitate I:

M ^-1 M = I

În cazul considerat, matricea M ^-1 este matricea (½), adică M ^-1 = (½) deoarece M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Pentru a găsi vectorul necunoscut X = (x), în ecuația propusă, ambii membri sunt înmulțiți cu matricea inversă:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

S-a atins o egalitate de doi vectori, care sunt egali doar atunci când elementele lor corespunzătoare sunt egale, adică x = 5.

Calcularea inversului unei matrice

Ceea ce motivează calculul matricei inverse este de a găsi o metodă universală pentru soluția sistemelor liniare, cum ar fi următorul sistem 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Urmând pașii cazului 1 × 1, studiați în secțiunea precedentă, scriem sistemul ecuațiilor sub formă de matrice:

Figura 2. Sistem liniar sub formă de matrice.

Rețineți că acest sistem este scris cu notație vectorială compactă după cum urmează:

MX = B

Unde

Următorul pas este de a găsi inversul lui M.

Metoda 1: Utilizarea eliminării gaussiene

Se va aplica metoda de eliminare gaussiană. Care constă în efectuarea operațiunilor elementare pe rândurile matricei, aceste operații sunt:

- Înmulțiți un rând cu un număr diferit de zero.

- Adăugați sau scăpați un alt rând dintr-un rând sau multiplul altui rând.

- Schimbă rândurile.

Obiectivul este, prin aceste operațiuni, de a converti matricea originală în matrice de identitate.

Așa cum se face, în matricea M se aplică exact aceleași operații la matricea de identitate. Când, după mai multe operații pe rânduri, M este transformată în matricea unității, atunci cea care a fost inițial unitatea va deveni matricea inversă a lui M, adică M ^-1 .

1- Începem procesul prin scrierea matricei M și lângă ea matricea unității:

2- Adăugăm cele două rânduri și punem rezultatul în al doilea rând, în acest fel obținem un zero în primul element al celui de-al doilea rând:

3- Înmulțim al doilea rând cu -1 pentru a obține 0 și 1 în al doilea rând:

4- Primul rând se înmulțește cu ½:

5- Al doilea și primul se adaugă și rezultatul este plasat în primul rând:

6- Acum pentru a termina procesul, primul rând este înmulțit cu 2 pentru a obține matricea de identitate în primul rând și matricea inversă a matricei originale M în al doilea:

Adică:

Soluție de sistem

Odată obținută matricea inversă, sistemul de ecuații este rezolvat prin aplicarea matricei inversă ambelor membre ale ecuației vectoriale compacte:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Care arată în mod explicit așa:

Apoi se înmulțește matricea pentru a obține vectorul X:

Metoda 2: folosind matricea atașată

În această a doua metodă matricea inversă este calculată din matricea adjuncta a matricei originale A .

Să presupunem o matrice A dată de:

unde _{i, j} este elementul rândul i și coloana j a matricei A .

Legătura matricei A se va numi Adj (A) și elementele ei sunt:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

unde Ai, j este matricea inferioară complementară obținută prin eliminarea rândului i și coloana j din matricea originală A . Barele ¦ ¦ indică faptul că determinantul este calculat, adică ¦Ai, j¦ este determinantul matricei complementare minore.

Formula matricei inversă

Formula pentru a găsi matricea inversă pornind de la matricea alăturată a matricei originale este următoarea:

Este, matricea inversă a A , A ^-1 , este transpusa de Adjoint A împărțită determinantul A .

Transpunerea A ^T a unei matrice A este obținută prin schimbarea rândurilor pentru coloane, adică primul rând devine prima coloană și al doilea rând devine a doua coloană și așa mai departe până când se completează cele n rânduri ale matricei originale.

Exercițiu rezolvat

Fie matricea A să fie următoarea:

Fiecare element al matricei adiacente din A este calculat: Adj (A)

Rezultând că matricea adiacentă a lui A, Adj (A) este următoarea:

Atunci se determină determinantul matricei A, det (A):

În cele din urmă se obține matricea inversă a lui:

Referințe

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanți și matrice. Publicarea trecerii.
2. Awol Assen (2013) Un studiu privind calculul determinanților unui 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Introducere în algebră liniară. Editorial ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Matematică: un student's Survival Guide. Presa universitară din Cambridge.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
7. Matrice. Editura Lap Lambert Academic.