MORGAN LAWS - MATEMATICA - 2025

L Ochii Morgan sunt reguli de inferență utilizate în logica propozitiilor, care stabilesc ce rezultatul negarea disjuncție și o conjuncție de propuneri sau variabile propoziționale. Aceste legi au fost definite de matematicianul Augustus De Morgan.

Legile lui Morgan reprezintă un instrument foarte util pentru a demonstra validitatea raționamentului matematic. Ulterior au fost generalizați în conceptul de seturi de către matematicianul George Boole.

Această generalizare făcută de Boole este complet echivalentă cu legile inițiale ale lui Morgan, dar este dezvoltată special pentru seturi și nu pentru propuneri. Această generalizare este cunoscută și sub numele de legile lui Morgan.

Revizuirea logicii propoziționale

Înainte de a privi care sunt în mod special legile lui Morgan și modul în care sunt utilizate, este util să vă amintiți câteva noțiuni de bază ale logicii propoziționale. (Pentru mai multe detalii, vezi articolul despre logica propozițională).

În domeniul logicii matematice (sau propoziționale), o inferență este o concluzie care este emisă dintr-un set de premise sau ipoteze. Această concluzie, împreună cu premisele menționate anterior, generează ceea ce este cunoscut drept raționament matematic.

Un astfel de raționament trebuie demonstrat sau respins; adică nu toate inferențele sau concluziile în raționamentul matematic sunt valabile.

Eroare

O falsă inferență făcută din anumite ipoteze care se presupune a fi adevărate este cunoscută ca o falie. Defecțiunile au particularitatea de a fi argumente care par corecte, dar din punct de vedere matematic nu sunt.

Logica propozițională este responsabilă precis de dezvoltarea și furnizarea de metode prin intermediul cărora este posibil, fără nicio ambiguitate, validarea sau respingerea unui raționament matematic; adică deduceți o concluzie valabilă din premise. Aceste metode sunt cunoscute sub numele de reguli de inferență, din care legile lui Morgan fac parte.

propoziţiile

Elementele esențiale ale logicii propoziționale sunt propozițiile. Propunerile sunt afirmații despre care se poate spune dacă sunt valabile sau nu, dar care nu pot fi adevărate sau false în același timp. Nu ar trebui să existe nicio ambiguitate în această problemă.

La fel cum numerele pot fi combinate prin operațiunile de adunare, scădere, înmulțire și divizare, propozițiile pot fi operate prin intermediul unor binecunoscute conective logice (sau conectori): negație (¬, „nu”), disjuncție (V , „Sau”), conjuncție (Ʌ, „și”), condițională (→, „dacă…, apoi…”) și bicondițională (↔, „dacă, și numai dacă”).

Pentru a funcționa mai general, în loc să ia în considerare propoziții specifice, sunt luate în considerare variabile propoziționale care reprezintă orice propoziție și ele sunt de obicei notate cu litere minuscule p, q, r, s etc.

O formulă propozițională este o combinație de variabile propozitive cu ajutorul unor conective logice. Cu alte cuvinte, este o compoziție a variabilelor propoziționale. De obicei se notează cu litere grecești.

Se spune că o formulă propozițională implică logic o alta atunci când cea din urmă este adevărată de fiecare dată când prima este adevărată. Acest lucru este notat de:

Când implicația logică între două formule propoziționale este reciprocă - adică atunci când implicația anterioară este valabilă și în sens opus - formulele sunt echivalente logic și se notează cu

Echivalența logică este un fel de egalitate între formulele propoziționale și permite înlocuirea uneia cu cealaltă atunci când este necesar.

Legile lui Morgan

Legile lui Morgan constau în două echivalențe logice între două forme propoziționale, și anume:

Aceste legi permit separarea negației unei disjuncții sau a unei conjuncții, ca negații ale variabilelor implicate.

Prima poate fi citită după cum urmează: negația unei disjuncții este egală cu conjuncția negațiilor. Iar cea de-a doua scrie astfel: negarea unei conjuncții este disjuncția negațiilor.

Cu alte cuvinte, negarea disjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu conjuncția negațiilor ambelor variabile. De asemenea, negarea conjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu disjuncția negațiilor ambelor variabile.

Așa cum am menționat anterior, înlocuirea acestei echivalențe logice ajută la dovedirea unor rezultate importante, împreună cu celelalte reguli de inferență existente. Cu acestea puteți simplifica multe formule propoziționale, astfel încât acestea să fie mai utile pentru a lucra.

Următorul este un exemplu de dovadă matematică folosind reguli de inferență, inclusiv legile lui Morgan. Mai exact, se arată că formula:

Este echivalent cu:

Acesta din urmă este mai simplu de înțeles și dezvoltat.

Demonstrație

De menționat că validitatea legilor lui Morgan poate fi demonstrată matematic. Un mod este prin compararea tabelelor tale de adevăr.

seturi

Aceleași reguli de inferență și noțiunile de logică aplicate propozițiilor pot fi, de asemenea, dezvoltate luând în considerare seturi. Acest lucru este cunoscut sub numele de algebră booleană, după matematicianul George Boole.

Pentru a diferenția cazurile, este necesar să se schimbe notația și să se transfere la seturi toate noțiunile deja văzute de logică propozițională.

Un set este o colecție de obiecte. Seturile sunt notate cu majuscule A, B, C, X, … iar elementele unui set sunt notate cu litere mici, a, b, c, x etc. Când un element a aparține unui set X, acesta este notat de:

Când nu aparține lui X, notația este:

Modul de a reprezenta seturile este prin plasarea elementelor în interiorul bretelelor. De exemplu, setul de numere naturale este reprezentat de:

Seturile pot fi, de asemenea, reprezentate fără a scrie o listă explicită a elementelor lor. Ele pot fi exprimate sub forma {:}. Pe colon se citește „așa că”. În stânga celor două puncte este plasată o variabilă care reprezintă elementele setului, iar în partea dreaptă este plasată proprietatea sau condiția pe care o satisfac. Aceasta este:

De exemplu, setul de numere întregi mai mare de -4 poate fi exprimat ca:

Sau echivalent și mai prescurtat, ca:

În mod similar, următoarele expresii reprezintă seturile de numere impare și, respectiv, impari:

Unirea, intersecția și complementele seturilor

În continuare vom vedea analogii conectivilor logici în cazul seturilor, care fac parte din operațiunile de bază între seturi.

Unire și intersecție

Unirea și intersecția seturilor sunt definite, astfel:

De exemplu, luați în considerare seturile:

Deci, trebuie să:

Completa

Complementul unui set este format din elementele care nu aparțin setului menționat (de același tip pe care îl reprezintă originalul). Complementul unui set A este notat prin:

De exemplu, în cadrul numerelor naturale, complementul setului de numere pare este cel al numerelor impare și invers.

Pentru a determina complementul unui set, setul universal sau principal al elementelor luate în considerare trebuie să fie clar de la început. De exemplu, nu este același să considerăm complementul unui set peste numere naturale ca peste numere raționale.

Următorul tabel arată relația sau analogia care există între operațiunile pe seturi definite anterior și conectivitățile logicii propoziționale:

Legile lui Morgan pentru seturi

În cele din urmă, legile Morgan asupra seturilor sunt:

În cuvinte: complementul unei uniuni este intersecția complementelor, iar complementul unei intersecții este uniunea complementelor.

O dovadă matematică a primei egalități ar fi următoarea:

Dovada celui de-al doilea este analog.

Referințe

1. Almaguer, G. (2002). Matematică 1. Editorial Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul publicațiilor, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Curs de bază al teoriei numerelor. Universitatea de Nord.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Cum să dezvolți raționamentul logic matematic. Editura Universității.
6. Guevara, MH (nd). Teoria numerelor. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Teoria numerelor Editorial Vision Libros.