LIMITA FERMAT: DIN CE CONSTĂ ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Limita Fermat este o metodă numerică folosită pentru a obține valoarea pantei unei linii, care este tangentă unei funcții la un anumit punct din domeniul său. De asemenea, este utilizat pentru a obține puncte critice ale unei funcții. Expresia sa este definită ca:

Este evident că Fermat nu cunoaște fundamentele derivării, cu toate acestea studiile sale au determinat un grup de matematicieni să se intereseze despre liniile tangente și aplicațiile lor în calcul.

Care este limita Fermat?

Constă dintr-o abordare de 2 puncte, care în condiții anterioare formează o linie secantă pentru funcția cu intersecție în perechi de valori.

Prin apropierea variabilei la valoarea "a", perechea de puncte este obligată să se întâlnească. În acest fel, linia anterioară secantă devine tangentă la punctul (a; f (a)).

Valoarea cotientului (x - a), atunci când este evaluată la punctul „a”, produce o indeterminare a limitelor de tip K între zero (K / 0). În cazul în care prin diferite tehnici de factoring, aceste indeterminări pot fi rupte.

Cele mai utilizate tehnici de operare sunt:

-Diferența pătratelor (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Existența elementului (a - b) implică în majoritatea cazurilor factorul care simplifică expresia (x - a) în coeficientul limită Fermat.

- Completarea pătratelor (ax ² + bx); După completarea pătratelor, se obține un binom Newton, unde unul dintre cei doi factori ai acestuia este simplificat cu expresia (x - a), încălcând indeterminarea.

- Conjugați (a + b) / (a ​​+ b); Înmulțirea și împărțirea expresiei prin conjugatul unui factor poate fi de mare ajutor pentru a rupe indeterminarea.

- Factor comun; În multe cazuri, rezultatul funcționării numărătorului limitei Fermat f (x) - f (a) ascunde factorul (x - a) necesar factorului. Pentru aceasta, se observă cu atenție ce elemente se repetă în fiecare factor al expresiei.

Aplicarea limitei Fermat pentru maximele și minimele

Chiar dacă limita Fermat nu diferențiază între maximele și minimele, întrucât poate identifica doar puncte critice în conformitate cu definiția sa, ea este folosită în mod obișnuit în calculul vârfurilor sau al etajelor funcțiilor din plan.

O cunoaștere de bază a teoriei grafice a funcțiilor în combinație cu această teoremă poate fi suficientă pentru a stabili valori maxime și minime între funcții. De fapt, punctele de inflexiune pot fi definite prin teorema valorii medii în plus față de teorema lui Fermat.

Pilda cubică

Cel mai semnificativ paradox pentru Fermat a venit din studierea parabolei cubice. Deoarece atenția lui a fost îndreptată către liniile tangente ale unei funcții pentru un anumit punct, el a intrat în problema definirii liniei tangente menționate la punctul de inflexiune din funcție.

Părea imposibil să se determine linia tangentă la un punct. Astfel începe ancheta care ar da naștere la calculul diferențial. Definită ulterior de către exponenți importanți ai matematicii.

Maximus și minim

Studiul maximelor și minimelor unei funcții a fost o provocare pentru matematica clasică, unde a fost necesară o metodă lipsită de ambiguitate și practică pentru a le defini.

Fermat a creat o metodă bazată pe funcționarea unor valori diferențiale mici, care după procesele de factorizare sunt eliminate, dând loc valorii maxime și minime căutate.

Această variabilă va trebui evaluată în expresia inițială pentru a determina coordonatul punctului menționat, care împreună cu criteriile analitice vor fi definite drept maximul sau minimul expresiei.

Metodă

În metoda sa, Fermat folosește simbolistica literală a lui Vieta, care a constat în utilizarea exclusivă a literelor majuscule: vocale, pentru necunoscute și consoane pentru cantități cunoscute.

În cazul valorilor radicale, Fermat a implementat un proces particular, care va fi ulterior utilizat în factorizarea limitelor infinite ale indeterminării dintre infinit.

Acest proces constă în împărțirea fiecărei expresii la valoarea diferențialului utilizat. În cazul lui Fermat, el a folosit litera E, unde după ce a împărțit la cea mai mare putere a lui E, valoarea căutată a punctului critic devine clar.

Istorie

Limita Fermat este de fapt una dintre cele mai puțin cunoscute contribuții din lista lungă a matematicianului. Studiile sale au mers de la numere prime la practic crearea bazei de calcul.

La rândul său, Fermat era cunoscut pentru excentricitățile sale în ceea ce privește ipotezele sale. Era obișnuit ca el să lase un fel de provocare celorlalți matematicieni ai vremii, când avea deja soluția sau dovada.

El a avut o mare varietate de dispute și alianțe cu diferiți matematicieni ai vremii, care fie iubeau, fie urau lucrul cu el.

Ultima sa teoremă a fost principalul responsabil pentru faima sa la nivel mondial, unde a afirmat că o generalizare a teoremei pitagoreene pentru orice grad „n” este imposibilă. El a susținut că are o dovadă valabilă în acest sens, dar a murit înainte de a-l face public.

Această demonstrație trebuia să aștepte aproximativ 350 de ani. În 1995, matematicienii Andrew Wiles și Richard Taylor, au pus capăt anxietății lăsate de Fermat, dovedind că avea dreptate printr-o dovadă valabilă a ultimei sale teoreme.

Exerciții

Exercitiul 1

Definiți panta liniei tangente la curba f (x) = x ² în punctul (4, 16)

Înlocuind expresia limitei Fermat avem:

Factorii (x - 4) sunt simplificați

Când evaluați aveți

M = 4 + 4 = 8

Exercițiul 2

Definiți punctul critic al expresiei f (x) = x ² + 4x folosind limita Fermat

Se realizează o grupare strategică de elemente, care urmărește gruparea perechilor XX ₀

Cele mai mici pătrate sunt dezvoltate

Observați factorul comun XX _{0 și extrageți}

Expresia poate fi acum simplificată și indeterminarea ruptă

În punctele minime se știe că panta liniei tangente este egală cu zero. În acest fel putem egaliza expresia găsită la zero și rezolvăm pentru valoarea X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Pentru a obține coordonata care lipsește este necesară doar evaluarea punctului din funcția inițială

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Punctul critic este P (-2, -4).

Referințe

1. Analiză reală. O abordare istorică Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 aug. 1999.
2. Cariera matematică a lui Pierre de Fermat, 1601-1665: ediția a doua. Michael Sean Mahoney. Presa Universității Princeton, 5 iun. 2018
3. De la Fermat la Minkowski: Prelegeri despre teoria numerelor și dezvoltarea sa istorică. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Ultima teoremă a lui Fermat: o introducere genetică a teoriei numărului algebric. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 ianuarie 2000
5. Zilele Fermat 85: Matematică pentru optimizare. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 ian. 1986