- Originea și istoria
- Aristotel
- Ce studiază logica matematică?
- propoziţiile
- Mese Adevăr
- Tipuri de logică matematică
- Zone
- Referințe
Logică matematică sau logică simbolică este un limbaj matematic care acoperă instrumentele prin care se poate afirma sau nega un raționament matematic.
Este bine știut că nu există ambiguități în matematică. Având în vedere un argument matematic, acesta este fie valid, fie pur și simplu nu este. Nu poate fi fals și adevărat în același timp.
Un aspect particular al matematicii este acela că are un limbaj formal și riguros prin care poate fi determinată validitatea unui argument. Ce face ca un anumit raționament sau orice dovadă matematică să fie irefutabil? Cam asta este logica matematică.
Astfel, logica este disciplina matematicii care este responsabilă de studierea raționamentelor și a dovezilor matematice și oferă instrumentele pentru a putea deduce o concluzie corectă din enunțuri sau propoziții anterioare.
Pentru a face acest lucru, se utilizează axiome și alte aspecte matematice care vor fi dezvoltate ulterior.
Originea și istoria
Datele exacte cu privire la multe aspecte ale logicii matematice sunt incerte. Cu toate acestea, cea mai mare parte a bibliografiilor referitoare la subiect își urmărește originea în Grecia antică.
Aristotel
Începutul tratamentului riguros al logicii este atribuit, în parte, lui Aristotel, care a scris un set de lucrări de logică, care au fost ulterior colectate și dezvoltate de diferiți filozofi și oameni de știință, până în Evul Mediu. Aceasta ar putea fi considerată „vechea logică”.
Mai târziu, în ceea ce este cunoscut sub numele de epoca contemporană, Leibniz, mișcat de o dorință profundă de a stabili un limbaj universal pentru a raționa matematic, iar alți matematicieni precum Gottlob Frege și Giuseppe Peano, au influențat în mod deosebit dezvoltarea logicii matematice cu contribuții deosebite. , printre ele, Axiomele Peano, care formulează proprietăți indispensabile ale numerelor naturale.
Matematicienii George Boole și Georg Cantor au fost, de asemenea, de o mare influență în acest moment, cu contribuții importante la teoria seturilor și a tabelelor adevărului, evidențiind, printre alte aspecte, Algebra booleană (de George Boole) și Axiomul alegerii (de George Cantor).
Există, de asemenea, Augustus De Morgan cu cunoscutele legi Morgan, care contemplă negații, conjuncții, disjuncții și condiționări între propoziții, chei pentru dezvoltarea logicii simbolice și Jhon Venn cu celebrele diagrame ale lui Venn.
În secolul XX, aproximativ între 1910 și 1913, Bertrand Russell și Alfred North Whitehead ies în evidență prin publicarea Principia matematica, un set de cărți care colectează, dezvoltă și postulează o serie de axiome și rezultate ale logicii.
Ce studiază logica matematică?
propoziţiile
Logica matematică începe cu studiul propozițiilor. O propoziție este o afirmație care, fără nicio ambiguitate, poți spune dacă este adevărată sau nu. Următoarele sunt exemple de propoziții:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- În 1930 a avut loc un cutremur în Europa.
Prima este o afirmație adevărată și a doua este o afirmație falsă. Al treilea, chiar dacă persoana care o citește poate să nu știe dacă este adevărat sau imediat, este o afirmație care poate fi testată și determinată dacă s-a întâmplat sau nu cu adevărat.
Următoarele sunt exemple de expresii care nu sunt propoziții:
- Ea este blonda.
- 2x = 6.
- Să ne jucăm!
- Iti plac filmele
În prima propoziție, nu este specificat cine este „ea”, prin urmare, nu se poate afirma nimic. În a doua propoziție, ceea ce reprezintă „x” nu a fost specificat. Dacă în schimb s-ar spune că 2x = 6 pentru un număr natural x, în acest caz ar corespunde unei propoziții, de fapt adevărate, deoarece pentru x = 3 se îndeplinește.
Ultimele două afirmații nu corespund unei propoziții, deoarece nu există nici o modalitate de a le refuza sau afirma.
Două sau mai multe propuneri pot fi combinate (sau conectate) folosind bine-cunoscuți conectivi logici (sau conectori). Acestea sunt:
- Negare: „Nu plouă”.
- Disjuncție: "Luisa a cumpărat o geantă albă sau gri".
- Conjuncție: "4 2 = 16 și 2 × 5 = 10".
- Condițional: „Dacă plouă, atunci nu mă duc la sală în după-amiaza asta”.
- Biconditional: "Merg la sală în după-amiaza asta dacă și numai dacă nu plouă."
O propoziție care nu are niciunul dintre conectivii precedenți se numește o propoziție simplă (sau atomică). De exemplu, „2 este mai mic decât 4” este o propoziție simplă. Propozițiile care au unele conective sunt numite propoziții compuse, cum ar fi "1 + 3 = 4 și 4 este un număr egal."
Declarațiile făcute prin propoziții sunt de obicei lungi, așa că este obositor să le scrii mereu așa cum s-a văzut până acum. Din acest motiv, este folosit un limbaj simbolic. Propozițiile sunt de obicei reprezentate cu majuscule precum P, Q, R, S etc. Și conexiunile simbolice după cum urmează:
Astfel încât
Reciproca de o propunere condiționată
este propoziția
Și contra-reciproc (sau contrapositiv) al unei propoziții
este propoziția
Mese Adevăr
Un alt concept important în logică este cel al tabelelor de adevăr. Valorile de adevăr ale unei propoziții sunt cele două posibilități pentru o propoziție: adevărată (care va fi notată de V și se va spune că valoarea ei de adevăr este V) sau falsă (care va fi notată de F și se va spune că valoarea sa într-adevăr este F).
Valoarea de adevăr a unei propoziții compuse depinde exclusiv de valorile de adevăr ale propozițiilor simple care apar în ea.
Pentru a funcționa mai general, nu vom lua în considerare propoziții specifice, ci variabile propoziționale p, q, r, s, etc., care vor reprezenta orice propoziții.
Cu aceste variabile și conectivitățile logice, formele propoziționale bine-cunoscute sunt formate, la fel cum sunt construite propoziții compuse.
Dacă fiecare dintre variabilele care apar într-o formulă propozițională este înlocuită cu o propoziție, se obține o propoziție compusă.
Mai jos sunt tabelele de adevăr pentru conectivii logici:
Există formule propoziționale care primesc doar valoarea V în tabelul lor de adevăr, adică ultima coloană a tabelului lor de adevăr are doar valoarea V. Aceste tipuri de formule sunt cunoscute sub numele de tautologii. De exemplu:
Următorul este tabelul de adevăr al formulei
Se spune că o formulă α implică logic o altă formulă β, dacă α este adevărată de fiecare dată β este adevărată. Adică, în tabelul de adevăr al lui α și β, rândurile în care α are V, β are și un V. Suntem interesați doar de rândurile în care α are valoarea V. Notarea pentru implicația logică este următoarea :
Următorul tabel rezumă proprietățile implicării logice:
Se spune că două formule propoziționale sunt echivalente logic dacă tabelele lor de adevăr sunt identice. Următoarea notare este utilizată pentru a exprima echivalența logică:
Următoarele tabele rezumă proprietățile echivalenței logice:
Tipuri de logică matematică
Există diferite tipuri de logică, mai ales dacă se ține cont de logica pragmatică sau informală care indică filozofia, printre alte domenii.
În ceea ce privește matematica, tipurile de logică pot fi rezumate ca:
- Logica formală sau aristotelică (logica antică).
- Logică propozițională: este responsabilă pentru studiul a tot ceea ce are legătură cu validitatea argumentelor și a propozițiilor folosind un limbaj formal și simbolic.
- Logica simbolică: concentrată pe studiul seturilor și proprietăților acestora, de asemenea, cu un limbaj formal și simbolic și este profund legată de logica propozițională.
- Logica combinatorie: una dintre cele mai recent dezvoltate, implică rezultate care pot fi dezvoltate folosind algoritmi.
- Programare logică: utilizat în diversele pachete și limbaje de programare.
Zone
Printre domeniile care folosesc logica matematică într-un mod indispensabil în dezvoltarea raționamentelor și argumentelor lor, se disting filosofia, teoria seturilor, teoria numerelor, matematica constructivă algebrică și limbajele de programare.
Referințe
- Aylwin, CU (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul publicațiilor, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Curs de bază al teoriei numerelor. Universitatea de Nord.
- Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Cum să dezvolți raționamentul logic matematic. Editura Universității.
- Zaragoza, AC (sf). Teoria numerelor Editorial Vision Libros.