GEOMETRIA ANALITICĂ: CEEA CE STUDIAZĂ, ISTORICUL, APLICAȚIILE - MATEMATICA - 2025

Cele analitice geometrie linii de studii și forme geometrice , prin aplicarea tehnicilor de algebra de bază și analiza matematică într - un anumit sistem de coordonate.

În consecință, geometria analitică este o ramură a matematicii care analizează în detaliu toate datele figurilor geometrice, adică volumul, unghiurile, aria, punctele de intersecție, distanțele lor, printre altele.

Caracteristica fundamentală a geometriei analitice este aceea că permite reprezentarea figurilor geometrice prin formule.

De exemplu, circumferințele sunt reprezentate de ecuații polinomiale de gradul doi, în timp ce liniile sunt exprimate de ecuații polinomiale de primul grad.

Geometria analitică apare în secolul al XVII-lea datorită necesității de a oferi răspunsuri la probleme care până acum nu aveau nicio soluție. Reprezentanții săi superiori au fost René Descartes și Pierre de Fermat.

Astăzi mulți autori o arată ca o creație revoluționară în istoria matematicii, deoarece reprezintă începutul matematicii moderne.

Istoria geometriei analitice

Termenul de geometrie analitică a apărut în Franța în secolul al XVII-lea datorită necesității de a da răspunsuri la probleme care nu puteau fi rezolvate folosind algebră și geometrie în mod izolat, dar soluția constă în utilizarea combinată a ambelor.

Principalii reprezentanți ai geometriei analitice

În timpul secolului al XVII-lea, doi francezi din întâmplare în viață au efectuat cercetări care într-un fel sau altul s-au încheiat în crearea geometriei analitice. Acești oameni erau Pierre de Fermat și René Descartes.

În prezent, se consideră că creatorul geometriei analitice a fost René Descartes. Acest lucru se datorează faptului că și-a publicat cartea înaintea lui Fermat și, de asemenea, în profunzime cu Descartes, pe tema geometriei analitice.

Cu toate acestea, atât Fermat cât și Descartes au descoperit că liniile și figurile geometrice ar putea fi exprimate prin ecuații și ecuații pot fi exprimate ca linii sau figuri geometrice.

Conform descoperirilor făcute de cei doi, se poate spune că ambii sunt creatorii geometriei analitice.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat a fost un matematician francez care s-a născut în 1601 și a murit în 1665. În timpul vieții sale a studiat geometria lui Euclid, Apollonius și Pappus, pentru a rezolva problemele de măsurare care existau la acea vreme.

Ulterior, aceste studii au declanșat crearea geometriei. Au ajuns să fie exprimate în cartea sa „Introducere în locuri plate și solide” (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), care a fost publicată la 14 ani după moartea sa în 1679.

Pierre de Fermat a aplicat geometria analitică la teoremele lui Apollonius pe locuri geometrice în 1623. De asemenea, el a fost primul care a aplicat geometria analitică pe spațiul tridimensional.

Rene Descartes

Cunoscut și sub numele de Cartesius, a fost un matematician, fizician și filozof, care s-a născut la 31 martie 1596 în Franța și a murit în 1650.

René Descartes a publicat în 1637 cartea sa „Discursul asupra metodei de a conduce rațiunea corect și de a căuta adevărul în știință” mai cunoscut sub numele de „Metoda” și de acolo a fost introdus în lume termenul de geometrie analitică. Unul dintre apendicele sale a fost „Geometria”.

Elemente fundamentale ale geometriei analitice

Geometria analitică este alcătuită din următoarele elemente:

Sistemul de coordonate carteziene

Acest sistem poartă numele lui René Descartes.

Nu el a fost cel care a numit-o și nici cel care a completat sistemul de coordonate carteziene, dar el a fost cel care a vorbit despre coordonate cu numere pozitive care să le permită viitorilor savanți să-l completeze.

Acest sistem este compus din sistemul de coordonate dreptunghiulare și sistemul de coordonate polare.

Sisteme dreptunghiulare de coordonate

Sistemele de coordonate dreptunghiulare se numesc planul format prin urmărirea a două linii numerice perpendiculare una pe cealaltă, unde punctul de tăiere coincide cu zero comun.

Atunci acest sistem ar fi format dintr-o linie orizontală și verticală.

Linia orizontală este axa X sau axa abscisă. Linia verticală ar fi axa Y sau axa ordonată.

Sistem polar de coordonate

Acest sistem este responsabil de verificarea poziției relative a unui punct în raport cu o linie fixă ​​și a unui punct fix de pe linie.

Ecuația carteziană a liniei

Această ecuație este obținută dintr-o linie când se cunosc două puncte prin care trece.

Linie dreapta

Este una care nu se abate și, prin urmare, nu are nici curbe, nici unghiuri.

Conice

Sunt curbele definite de liniile care trec printr-un punct fix și de punctele unei curbe.

Elipsa, circumferința, parabola și hiperbola sunt curbe conice. Fiecare dintre ele este descris mai jos.

Circumferinţă

Circumferința se numește curba planului închis care este format din toate punctele planului care sunt echidistante dintr-un punct interior, adică din centrul circumferinței.

Parabolă

Este locusul punctelor planului care sunt echidistante dintr-un punct fix (focalizare) și o linie fixă ​​(direcție). Deci, direcția și accentul sunt cele care definesc parabola.

Parabola poate fi obținută ca o secțiune a unei suprafețe conice de revoluție printr-un plan paralel cu o generatrice.

Elipsă

Curba închisă care descrie un punct la deplasarea într-un plan se numește elipsă, astfel încât suma distanțelor sale până la două (2) puncte fixe (numite focare) este constantă.

Hiperbolă

Hiperbola se numește curba definită ca locusul punctelor din plan, pentru care diferența dintre distanțele a două puncte fixe (focare) este constantă.

Hiperbola are o axă de simetrie care trece prin focare, numită axă focală. De asemenea, are un altul, care este bisectorul segmentului care are punctele fixe la capetele sale.

Aplicații

Există multe aplicații ale geometriei analitice în diferite domenii ale vieții de zi cu zi. De exemplu, putem găsi parabola, unul dintre elementele fundamentale ale geometriei analitice, în multe dintre instrumentele folosite zilnic. Unele dintre aceste instrumente sunt următoarele:

Antenă de satelit

Antenele parabolice au un reflector generat ca urmare a unei parabole care se rotește pe axa respectivei antene. Suprafața care este generată ca urmare a acestei acțiuni se numește paraboloid.

Această abilitate a paraboloidului este denumită proprietatea optică sau proprietatea de reflecție a unei parabole și datorită acesteia este posibil ca paraboloidul să reflecte undele electromagnetice pe care le primește de la mecanismul de alimentare care compune antena.

Poduri suspendate

Când o frânghie susține o greutate omogenă, dar, în același timp, este considerabil mai mare decât greutatea frânghiei în sine, rezultatul va fi o parabolă.

Acest principiu este fundamental pentru construcția punților suspendate, care sunt de obicei susținute de structuri largi de cablu din oțel.

Principiul parabolei în podurile suspendate a fost utilizat în structuri precum Podul Golden Gate, situat în orașul San Francisco, în Statele Unite, sau Marele Pod al strâmtorii Akashi, care este situat în Japonia și face legătura între Insula din Awaji cu Honshū, insula principală a țării respective.

Analiza astronomică

Geometria analitică a avut, de asemenea, utilizări foarte specifice și decisive în domeniul astronomiei. În acest caz, elementul geometriei analitice care ocupă stadiul central este elipsa; Legea de mișcare a planetelor a lui Johannes Kepler reflectă acest lucru.

Kepler, matematician și astronom german, a stabilit că elipsa era curba care se potrivea cel mai bine mișcării lui Marte; El a testat anterior modelul circular propus de Copernic, dar în mijlocul experimentelor sale, a dedus că elipsa a servit la desenarea unei orbite perfect similare cu cea a planetei pe care o studia.

Datorită elipsei, Kepler a putut să afirme că planetele s-au mișcat pe orbitele eliptice; această considerație a fost afirmația așa-numitei legi a lui Kepler.

Din această descoperire, îmbogățită ulterior de fizicianul și matematicianul englez Isaac Newton, a fost posibilă studierea mișcărilor orbitative ale planetelor și creșterea cunoștințelor care au avut despre universul din care facem parte.

Telescop Cassegrain

Telescopul Cassegrain este numit după inventatorul său, fizicianul de origine franceză Laurent Cassegrain. În acest telescop se folosesc principiile geometriei analitice, deoarece este compus în principal din două oglinzi: prima este concavă și parabolică, iar a doua se caracterizează prin a fi convexă și hiperbolică.

Locația și natura acestor oglinzi permit ca defectul cunoscut sub numele de aberații sferice să nu aibă loc; Acest defect împiedică razele de lumină să se reflecte în focalizarea unui obiectiv dat.

Telescopul Cassegrain este foarte util pentru observația planetară, precum și destul de versatil și ușor de utilizat.

Referințe

1. Geometrie analitică. Preluat pe 20 octombrie 2017, de pe britannica.com
2. Geometrie analitică. Adus pe 20 octombrie 2017 de pe enciclopediafmath.org
3. Geometrie analitică. Adus pe 20 octombrie 2017 de pe khancademy.org
4. Geometrie analitică. Adus pe 20 octombrie 2017 de pe wikipedia.org
5. Geometrie analitică. Preluat pe 20 octombrie 2017, de la whitman.edu
6. Geometrie analitică. Preluat pe 20 octombrie 2017, de pe stewartcalculus.com
7. Geometrie analitică plană Adus pe 20 octombrie 2017