FRACȚII PARȚIALE: CAZURI ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Cele Fracțiunile parțiale sunt fracțiuni formate prin polinoame, în care numitorul poate fi un polinom liniar sau pătratică și , de asemenea , poate fi ridicat la o putere. Uneori, când avem funcții raționale este foarte util să rescriem această funcție ca o sumă de fracții parțiale sau fracții simple.

Acest lucru se întâmplă pentru că în acest fel putem manipula aceste funcții într-un mod mai bun, în special în cazurile în care este necesară integrarea respectivei aplicații. O funcție rațională este pur și simplu coeficientul dintre două polinoame și pot fi corecte sau improprii.

Dacă gradul polinomului numărătorului este mai mic decât numitorul, se numește funcție rațională corespunzătoare; în caz contrar, este cunoscută ca o funcție rațională improprie.

Definiție

Când avem o funcție rațională necorespunzătoare, putem împărți polinomul numărătorului prin polinomul numitorului și astfel să rescriem fracția p (x) / q (x), urmând algoritmul de diviziune ca t (x) + s (x) / q (x), unde t (x) este un polinom și s (x) / q (x) este o funcție rațională corespunzătoare.

O fracție parțială este orice funcție corespunzătoare a polinoamelor, al căror numitor este de forma (ax + b) ⁿ sau (ax ² + bx + c) ⁿ , dacă axul polinomial ² + bx + c nu are rădăcini reale și n este un număr natural.

Pentru a rescrie o funcție rațională în fracții parțiale, primul lucru de făcut este factorul numitorului q (x) ca produs al factorilor liniari și / sau patrati. Odată făcut acest lucru, se determină fracțiile parțiale, care depind de natura acestor factori.

Cazuri

Avem în vedere mai multe cazuri separat.

Cazul 1

Factorii q (x) sunt liniari și niciunul nu se repetă. Adică:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ ) … (a _s x + b _s )

Nu există niciun factor liniar identic cu altul. Când se va întâmpla acest caz, vom scrie:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _s ).

În cazul în care A ₁ , A ₂ , …, A _s sunt constantele care trebuie găsite.

Exemplu

Dorim să descompunem funcția rațională în fracții simple:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Procedăm la factorul numitorului, adică:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Apoi:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Aplicând cel mai puțin multiplu comun, se poate obține:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vrem să obținem valorile constantelor A, B și C, care pot fi găsite prin înlocuirea rădăcinilor care anulează fiecare dintre termeni. Înlocuind 0 pentru x avem:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Înlocuirea - 1 pentru x avem:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Înlocuirea - 2 pentru x avem:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

În acest fel, se obțin valorile A = –1/2, B = 2 și C = –3/2.

Există o altă metodă pentru a obține valorile A, B și C. Dacă pe partea dreaptă a ecuației x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinăm termeni, avem:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Întrucât aceasta este o egalitate de polinoame, avem de ce coeficienții de pe partea stângă trebuie să fie egali cu cei de pe partea dreaptă. Rezultă următorul sistem de ecuații:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem rezultatele A = –1/2, B = 2 și C = -3/2.

În cele din urmă, înlocuind valorile obținute avem următoarele:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Cazul 2

Factorii q (x) sunt liniari și unii se repetă. Să presupunem că (ax + b) este un factor care repetă timpurile „s”; apoi, acestui factor corespunde suma fracțiilor parțiale «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

În cazul în care A _s , A _s-1 , …, A ₁ sunt constantele care trebuie determinate. Cu următorul exemplu, vom arăta cum să determinăm aceste constante.

Exemplu

Se descompun în fracții parțiale:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Scriem funcția rațională ca o sumă a fracțiilor parțiale după cum urmează:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Apoi:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Înlocuind 2 pentru x, avem următoarele:

7 = 4C, adică C = 7/4.

Înlocuind 0 pentru x avem:

- 1 = –8A sau A = 1/8.

Substituind aceste valori în ecuația anterioară și dezvoltând, avem următoarele:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Echivalând coeficienții, obținem următorul sistem de ecuații:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rezolvarea sistemului, avem:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Pentru aceasta, trebuie să:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Cazul 3

Factorii q (x) sunt quadratici liniari, fără factori quadratici repetiți. În acest caz, factorul pătrat (ax ² + bx + c) va corespunde fracției parțiale (Ax + B) / (ax ² + bx + c), unde constantele A și B sunt cele care trebuie determinate.

Următorul exemplu arată cum se procedează în acest caz

Exemplu

Se descompune în fracții simple a (x + 1) / (x ³ - 1).

Mai întâi trecem la factorul numitorului, care ne oferă ca rezultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Putem observa că (x ² + x + 1) este un polinom quadratic ireductibil; adică nu are rădăcini reale. Descompunerea sa în fracții parțiale va fi următoarea:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Din aceasta obținem următoarea ecuație:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Folosind egalitatea polinoamelor, obținem următorul sistem:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Din acest sistem avem că A = 2/3, B = - 2/3 și C = 1/3. Înlocuind, avem următoarele:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Cazul 4

În cele din urmă, cazul 4 este cel în care factorii q (x) sunt liniari și quadratici, unde se repetă unii dintre factorii quadratici liniari.

În acest caz, dacă (ax ² + bx + c) este un factor pătrat care repetă „s” ori, atunci fracția parțială corespunzătoare factorului (ax ² + bx + c) va fi:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

În cazul în care A _s , A _s-1 , …, A și B _s , B _s-1 , …, B sunt constantele care trebuie determinate.

Exemplu

Dorim să descompunem următoarea funcție rațională în fracții parțiale:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Deoarece x ² - 4x + 5 este un factor quadratic ireductibil, avem că descompunerea sa în fracții parțiale este dată de:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Simplificând și dezvoltând, avem:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Din cele de mai sus avem următorul sistem de ecuații:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Când rezolvăm sistemul, rămânem cu:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 și E = - 3/5.

Prin substituirea valorilor obținute avem:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Aplicații

Calcul integral

Fracțiile parțiale sunt utilizate în principal pentru studiul calculului integral. Iată câteva exemple despre cum se efectuează integrale folosind fracții parțiale.

Exemplul 1

Dorim să calculăm integralitatea:

Putem vedea că numitorul q (x) = (t + 2) ² (t + 1) este format din factori liniari unde unul dintre aceștia se repetă; Acesta este motivul pentru care suntem în cazul 2.

Noi trebuie sa:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Rescriem ecuația și avem:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Dacă t = - 1, avem:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Dacă t = - 2, ne oferă:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Atunci, dacă t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Înlocuirea valorilor lui A și C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Din cele de mai sus avem că B = - 1.

Rescriem integrala ca:

Procedăm la rezolvarea acestuia prin metoda de substituție:

Acesta este rezultatul:

Exemplul 2

Rezolvați integrala următoare:

În acest caz, putem factoriza aq (x) = x ² - 4 ca q (x) = (x - 2) (x + 2). Suntem clar în cazul 1. Prin urmare:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Poate fi exprimat și ca:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Dacă x = - 2, avem:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Și dacă x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Astfel, rămânem cu rezolvarea integralei date echivalează cu rezolvarea:

Acest lucru ne oferă ca rezultat:

Exemplul 3

Rezolvați integrala:

Avem q (x) = 9x ⁴ + x ² , pe care le putem factoriza în q (x) = x ² (9x ² + 1).

De data aceasta avem un factor liniar repetat și un factor cvadratic; adică suntem în cazul 3.

Noi trebuie sa:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Gruparea și utilizarea polinoamelor egale, avem:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Din acest sistem de ecuații avem:

D = - 9 și C = 0

În acest fel, avem:

Rezolvând cele de mai sus, avem:

Legea acțiunii în masă

O aplicație interesantă a fracțiilor parțiale aplicate calculului integral se găsește în chimie, mai precis în legea acțiunii în masă.

Să presupunem că avem două substanțe, A și B, care se unesc și formează o substanță C, astfel încât derivata cantității de C în raport cu timpul să fie proporțională cu produsul cantităților A și B la un moment dat.

Putem exprima legea acțiunii în masă astfel:

În această expresie α este numărul inițial de grame corespunzător lui A și β numărul inițial de grame corespunzător lui B.

Mai mult, r și s reprezintă numărul de grame de A și B, respectiv, care se combină pentru a forma r + s grame de C. Pentru partea sa, x reprezintă numărul de grame de substanță C în momentul t, iar K este constantă de proporționalitate. Ecuația de mai sus poate fi rescrisă ca:

Faceți următoarea modificare:

Avem că ecuația devine:

Din această expresie putem obține:

Dacă a a b, fracții parțiale pot fi utilizate pentru integrare.

Exemplu

Să luăm, de exemplu, o substanță C care rezultă din combinarea substanței A cu B, în așa fel încât legea de masă să fie îndeplinită atunci când valorile a și b sunt 8, respectiv 6. Dă o ecuație care ne oferă valoarea gramelor de C în funcție de timp.

Substituind valorile din legea de masă dată, avem:

La separarea variabilelor avem:

Aici 1 / (8 - x) (6 - x) poate fi scris ca suma fracțiilor parțiale, după cum urmează:

Astfel, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Dacă înlocuim 6 cu x, avem B = 1/2; și substituind 8 pentru x, avem A = - 1/2.

Integrând prin fracții parțiale avem:

Acest lucru ne oferă ca rezultat:

Ecuații diferențiale: ecuație logistică

O altă aplicație care poate fi dată fracțiilor parțiale este în ecuația diferențială logistică. În modele simple avem că rata de creștere a unei populații este proporțională cu dimensiunea acesteia; adică:

Acest caz este un ideal și este considerat realist până când se întâmplă că resursele disponibile într-un sistem sunt insuficiente pentru a sprijini populația.

În aceste situații, cel mai rezonabil este să ne gândim că există o capacitate maximă, pe care o vom numi L, că sistemul poate susține și că rata de creștere este proporțională cu dimensiunea populației înmulțită cu dimensiunea disponibilă. Acest argument duce la următoarea ecuație diferențială:

Această expresie se numește ecuația diferențială logistică. Este o ecuație diferențială separabilă care poate fi rezolvată cu metoda integrării fracției parțiale.

Exemplu

Un exemplu ar fi să avem în vedere o populație care crește conform următoarei ecuații diferențiale logistice y '= 0,0004y (1000 - y), ale căror date inițiale sunt 400. Vrem să cunoaștem dimensiunea populației la momentul t = 2, unde t este măsurată în ani.

Dacă scriem y 'cu nota lui Leibniz ca funcție care depinde de t, avem:

Integrala din partea stângă poate fi rezolvată folosind metoda integrării fracției parțiale:

Putem rescrie această ultimă egalitate după cum urmează:

- Înlocuind y = 0 avem că A este egal cu 1/1000.

- Înlocuind y = 1000 avem că B este egal cu 1/1000.

Cu aceste valori integrala este următoarea:

Soluția este:

Utilizarea datelor inițiale:

Când se curăță și avem:

Atunci avem asta la t = 2:

În concluzie, după 2 ani, dimensiunea populației este de aproximativ 597,37.

Referințe

1. A, RA (2012). Matematică 1. Universidad de los Andes. Consiliul publicațiilor.
2. Cortez, I., și Sanchez, C. (nd). 801 Integrale rezolvate. Universitatea Experimentală Națională din Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Calculul cu geometrie analitică. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul. Mexic: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Calcul integral. Ipotenuză.