ELLIPSOID: CARACTERISTICI ȘI EXEMPLE - ARTE - 2025

Elipsoid este o suprafață în spațiu care aparține grupului de suprafețe Quadric și a căror ecuație generală este de forma:

Este echivalentul tridimensional al unei elipse, caracterizat prin faptul că are urme eliptice și circulare în unele cazuri speciale. Urmele sunt curbele obținute prin intersectarea elipsoidului cu un plan.

Figura 1. Trei elipsoide diferite: în partea superioară o sferă în care cele trei semi-axe sunt egale, în partea inferioară stângă un sferoid, cu două semi-axe egale și una diferită, iar în final în dreapta jos, un sferoid triaxial, cu trei axe diferite lungime. Sursa: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

În plus față de elipsoid, există alte cinci cvadrice: hiperboloid cu o foaie și două foi, două tipuri de paraboloide (hiperbolice și eliptice) și conul eliptic. Urmele sale sunt de asemenea conice.

Elipsoidul poate fi exprimat și prin ecuația standard în coordonate carteziene. Un elipsoid centrat la origine (0,0,0) și exprimat în acest fel, seamănă cu elipsa, dar cu un termen suplimentar:

Valorile a, b și c sunt numere reale mai mari de 0 și reprezintă cele trei semi-axe ale elipsoidului.

Caracteristici elipsoide

- Ecuația standard

Ecuația standard în coordonatele carteziene pentru elipsa centrată la punctul (h, k, m) este:

- Ecuațiile parametrice ale elipsoidului

În coordonate sferice, elipsoidul poate fi descris după cum urmează:

x = a păcat θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Semicorpele elipsoidului rămân a, b și c, în timp ce parametrii sunt unghiurile θ și φ din următoarea figură:

Figura 2. Sistemul de coordonate sferice. Elipsoidul poate fi parametrizat folosind unghiurile afișate theta și phi ca parametri. Sursa: Wikimedia Commons. Andeggs / Domeniu public.

- Urme de elipsoid

Ecuația generală a unei suprafețe în spațiu este F (x, y, z) = 0, iar urmele suprafeței sunt curbele:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

În cazul unui elipsoid, astfel de curbe sunt elipse și uneori cercuri.

- Volumul

Volumul V al elipsoidului este dat de (4/3) π ori produsul celor trei semi-axe ale acestuia:

V = (4/3) π. abc

Cazuri speciale ale elipsoidului

-O elipsoid devine o sferă atunci când toate semi-axele au aceeași dimensiune: a = b = c ≠ 0. Acest lucru are sens, deoarece elipsoidul este ca o sferă care a fost întinsă diferit de-a lungul fiecărei axă.

-Sferoidul este un elipsoid în care două dintre axele sunt identice și a treia este diferită, de exemplu ar putea fi a = b ≠ c.

Sferoida este numită și elipsoid de revoluție, deoarece poate fi generată prin elipsele rotative în jurul unei axe.

Dacă axa de rotație coincide cu axa principală, sferoida este prolată, dar dacă coincide cu axa minoră, aceasta este oblată:

Figura 3. Sferoidul obligat pe partea stângă și proliferul pe dreapta. Sursa: Wikimedia Commons.

Măsura aplatizării sferoidului (elipticitate) este dată de diferența de lungime între cele două semi-axe, exprimată în formă fracțională, adică este aplatizarea unității, dată de:

f = (a - b) / a

În această ecuație, a reprezintă axa semi-majoră și b axa semi-minoră, nu uitați că a treia axă este egală cu una dintre acestea pentru un sferoid. Valoarea lui f este cuprinsă între 0 și 1, iar pentru un sferoid trebuie să fie mai mare decât 0 (dacă ar fi egal cu 0 am avea pur și simplu o sferă).

Elipsoidul de referință

Planetele și stelele în general, nu sunt de obicei sfere perfecte, deoarece mișcarea de rotație în jurul axelor lor aplatizează corpul la poli și îl bombează la ecuator.

De aceea, Pământul se dovedește a fi ca un sferoid oblat, deși nu este la fel de exagerat ca cel din figura precedentă, iar pentru partea sa gigantul de gaze Saturn este cel mai plat dintre planetele din sistemul solar.

Așadar, o modalitate mai realistă de a reprezenta planetele este de a presupune că sunt ca un sferoid sau elipsoid de revoluție, a cărui axă semi-majoră este raza ecuatorială și axa semi-minoră raza polară.

Măsurările minuțioase făcute pe glob au făcut posibilă construirea elipsoidului de referință al Pământului ca cel mai precis mod de a lucra matematic.

Stelele au și mișcări de rotație care le conferă forme mai mult sau mai puțin aplatizate. Steaua rapidă Achernar, a opta cea mai strălucitoare stea din cerul nopții, în constelația de sud Eridanus este remarcabil eliptică în comparație cu majoritatea. Este la 144 de ani lumină de noi.

La cealaltă extremă, acum câțiva ani, oamenii de știință au găsit cel mai sferic obiect găsit vreodată: steaua Kepler 11145123, aflată la 5000 de ani lumină, de două ori mai mare decât Soarele nostru și o diferență între semi-axele de doar 3 km. După cum era de așteptat, se învârte și mai lent.

În ceea ce privește Pământul, acesta nu este un sferoid perfect nici din cauza suprafeței sale accidentate și a variațiilor locale ale gravitației. Din acest motiv, există mai mult de un sferoid de referință disponibil și pe fiecare site este ales cel mai potrivit geografiei locale.

Ajutorul sateliților este de neprețuit în crearea de modele din ce în ce mai exacte a formei Pământului, datorită lor se știe, de exemplu, că polul sud este mai aproape de ecuator decât de polul nord.

Figura 4. Haumea, planeta pitică trans-Neptuniană are o formă elipsoidală. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemplu numeric

Datorită rotirii Pământului, se generează o forță centrifugă care îi conferă forma unui elipsoid alungit, în locul unei sfere. Se știe că raza ecuatorială a Pământului este de 3963 de mile, iar cea polară de 3942 de mile.

Găsiți ecuația urmelor ecuatoriale, cea a acestei elipsoide și măsura aplatizării acesteia. De asemenea, comparați cu elipticitatea lui Saturn, cu datele furnizate mai jos:

-Ratură ecuatorială de stat: 60.268 km

-Raza polară a lui Saturn: 54.364 km

Soluţie

Este necesar un sistem de coordonate, pe care îl vom presupune centrat pe origine (centrul Pământului). Vom presupune axa z verticală și urmele care corespund ecuatorului se află pe planul xy, echivalent cu planul z = 0.

În planul ecuatorial semi-axele a și b sunt egale, deci a = b = 3963 mile, în timp ce c = 3942 mile. Acesta este un caz special: o sferoidă centrată în punctul (0,0,0) așa cum s-a menționat mai sus.

Urma ecuatorială este un cerc cu raza R = 3963 mile, centrat la origine. Se calculează făcând z = 0 în ecuația standard:

Și ecuația standard a elipsoidului terestru este:

f _Pământ = (a - b) / a = (3963-3942) mile / 3963 mile = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Rețineți că elipticitatea f este o cantitate fără dimensiuni.

Referințe

1. ArcGIS pentru desktop. Sferoide și sfere. Recuperat de pe: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Misterul celui mai sferic obiect descoperit vreodată în Univers. Recuperat de pe: bbc.com.
3. Larson, R. Calcul și geometrie analitică. Ediția a șasea. Volumul 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Recuperat de la: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sferoid. Recuperat de la: en.wikipedia.org.