INEGALITATE TRIUNGHIULARĂ: DOVADĂ, EXEMPLE, EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Se numește proprietate triunghiulară inegală care întrunește două numere reale constând din valoarea absolută a sumei lor este întotdeauna mai mică sau egală cu suma valorilor lor absolute. Această proprietate este cunoscută și sub denumirea de inegalitate sau inegalitate triunghiulară a lui Minkowski.

Această proprietate a numerelor se numește inegalitate triunghiulară deoarece în triunghiuri se întâmplă ca lungimea unei părți să fie întotdeauna mai mică sau egală cu suma celorlalte două, chiar dacă această inegalitate nu se aplică întotdeauna în zona triunghiurilor.

Figura 1. Valoarea absolută a sumei a două numere este întotdeauna mai mică sau egală cu suma valorilor lor absolute. (Pregătit de R. Pérez)

Există mai multe dovezi ale inegalității triunghiulare în numere reale, dar în acest caz vom alege una bazată pe proprietățile valorii absolute și binomul pătrat.

Teorema: Pentru fiecare pereche de numere a și b aparținând numerelor reale avem:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrație

Începem prin a considera primul membru al inegalității, care va fi pătrat:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Ex. 1)

În pasul anterior am folosit proprietatea că orice număr pătrat este egal cu valoarea absolută a numărului pătrat menționat, adică: -x- ^ 2 = x ^ 2. De asemenea, s-a utilizat expansiunea binomului pătrat.

Fiecare număr x este mai mic sau egal cu valoarea sa absolută. Dacă numărul este pozitiv, este egal, dar dacă numărul este negativ, acesta va fi întotdeauna mai mic decât un număr pozitiv. În acest caz, valoarea sa absolută, adică se poate afirma că x ≤ - x -.

Produsul (ab) este un număr, prin urmare se aplică că (ab) ≤ - ab -. Când această proprietate este aplicată la (ec. 1) avem:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Ex. 2)

Ținând cont de faptul că - ab - = - a - b - la (Ec. 2) se poate scrie astfel:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Ex. 3)

Dar, deoarece am spus înainte că pătratul unui număr este egal cu valoarea absolută a numărului pătrat, atunci ecuația 3 poate fi rescrisă după cum urmează:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Ec. 4)

În al doilea membru al inegalității, este recunoscut un produs remarcabil, care atunci când este aplicat conduce la:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Ec. 5)

În expresia anterioară, trebuie remarcat faptul că valorile care trebuie pătrate în ambii membri ai inegalității sunt pozitive, de aceea trebuie să fie satisfăcut că:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Ec. 6)

Expresia anterioară este exact ceea ce ai vrut să demonstrezi.

Exemple

În continuare vom verifica inegalitatea triunghiulară cu mai multe exemple.

Exemplul 1

Luăm valoarea a = 2 și valoarea b = 5, adică ambele numere pozitive și verificăm dacă inegalitatea este satisfăcută sau nu.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Egalitatea este verificată, de aceea teorema inegalității triunghiului a fost îndeplinită.

Exemplul 2

Următoarele valori a = 2 și b = -5 sunt alese, adică un număr pozitiv, iar celălalt negativ, verificăm dacă inegalitatea este sau nu satisfăcută.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Inegalitatea este satisfăcută, de aceea a fost verificată teorema inegalității triunghiulare.

Exemplul 3

Luăm valoarea a = -2 și valoarea b = 5, adică un număr negativ și celălalt pozitiv, verificăm dacă inegalitatea este sau nu satisfăcută.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Inegalitatea este verificată, prin urmare teorema a fost îndeplinită.

Exemplul 4

Următoarele valori a = -2 și b = -5 sunt alese, adică ambele numere negative și verificăm dacă inegalitatea este sau nu satisfăcută.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Egalitatea este verificată, de aceea teorema inegalității lui Minkowski a fost îndeplinită.

Exemplul 5

Luăm valoarea a = 0 și valoarea b = 5, adică un număr zero și celălalt pozitiv, atunci verificăm dacă inegalitatea este satisfăcută sau nu.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Egalitatea este îndeplinită, de aceea teorema inegalității triunghiului a fost verificată.

Exemplul 6

Luăm valoarea a = 0 și valoarea b = -7, adică un număr zero și celălalt pozitiv, atunci verificăm dacă inegalitatea este satisfăcută sau nu.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Egalitatea este verificată, de aceea teorema inegalității triunghiulare a fost îndeplinită.

Exerciții rezolvate

În exercițiile următoare, reprezintă geometric inegalitatea triunghiului sau inegalitatea Minkowski pentru numerele a și b.

Numărul a va fi reprezentat ca un segment pe axa X, originea sa O coincide cu zero a axei X, iar celălalt capăt al segmentului (la punctul P) va fi în direcția pozitivă (la dreapta) a axei X dacă a > 0, dar dacă a <0 va fi spre direcția negativă a axei X, câte unități indică valoarea absolută a acesteia.

În mod similar, numărul b va fi reprezentat ca un segment a cărui origine este pe punctul P. Cealaltă extremă, adică punctul Q va fi la dreapta lui P dacă b este pozitiv (b> 0) și punctul Q va fi -b - unități din stânga lui P dacă b <0.

Exercitiul 1

Grafică inegalitatea triunghiului pentru a = 5 și b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, unde c = a + b.

Exercițiul 2

Grafică inegalitatea triunghiulară pentru a = 5 și b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, unde c = a + b.

Exercițiul 3

Arătați grafic inegalitatea triunghiului pentru a = -5 și b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, unde c = a + b.

Exercițiul 4

Construiți grafic inegalitatea triunghiulară pentru a = -5 și b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, unde c = a + b.

Referințe

1. E. Whitesitt. (1980) .Algebra booleană și aplicațiile sale. Compania editorială Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Departamentul de matematică. Colegiul universitar Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematică și Inginerie în Informatică. Institutul de Științe și Tehnologie Calculatoare Biroul Național de Standarde. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematică pentru informatică. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Calcul. Departamentul de Matematică și Laboratorul de Informatică și AI, Institutul de Tehnologie Massachussetts.
6. Academia Khan. Teorema inegalității triunghiului. Recuperat de la: khanacademy.org
7. Wikipedia. Inegalitate triunghiulară. Recuperat din: es. wikipedia.com