VECTORI NON-COPLANARI: DEFINIȚIE, CONDIȚII, EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Cei care nu - vectorii coplanare sunt cei care nu împărtășesc același plan. Doi vectori liberi și un punct definesc un singur plan. Un al treilea vector poate sau nu să partajeze acel plan, iar dacă nu, acestea sunt vectori non-coplanari.

Vectorii non-coplanari nu pot fi reprezentați în spații bidimensionale precum o tablă sau o foaie de hârtie, deoarece unele dintre ele sunt conținute în a treia dimensiune. Pentru a le reprezenta corect trebuie să folosiți perspectiva.

Figura 1. Vectorii coplanari și non-coplanari. (Elaborare proprie)

Dacă ne uităm la figura 1, toate obiectele arătate sunt strict în planul ecranului, însă datorită perspectivei creierului nostru este capabil să ne imaginăm un plan (P) care iese din el.

Pe acel plan (P) sunt vectorii r , s , u , în timp ce vectorii v și w nu se află în acel plan.

Prin urmare, vectorii r , s , u sunt coplanari sau coplanari unul față de celălalt, deoarece au același plan (P). Vectorii v și w nu împărtășesc un plan cu niciunul dintre ceilalți vectori arătați, prin urmare, sunt non-coplanari.

Vectori coplanari și ecuația planului

Un plan este definit în mod unic dacă există trei puncte în spațiul tridimensional.

Să presupunem că aceste trei puncte sunt punctul A, punctul B și punctul C care definesc planul (P). Cu aceste puncte este posibil să se construiască doi vectori AB = u și AC = v care sunt prin construcție coplanară cu planul (P).

Produsul încrucișat (sau produsul încrucișat) al acestor doi vectori are ca rezultat un al treilea vector perpendicular (sau normal) pentru ei și, prin urmare, perpendicular pe planul (P):

n = u X v => n ⊥ u și n ⊥ v => n ⊥ (P)

Orice alt punct care aparține planului (P) trebuie să satisfacă faptul că vectorul AQ este perpendicular pe vectorul n ; Acest lucru este echivalent cu a spune că produsul punct (sau produsul punct) al lui n cu AQ trebuie să fie zero:

n • AQ = 0 (*)

Condiția anterioară este echivalentă cu a spune că:

AQ • ( u X v ) = 0

Această ecuație asigură că punctul Q aparține planului (P).

Ecuația carteziană a planului

Ecuația de mai sus poate fi scrisă sub formă carteziană. Pentru a face acest lucru, scriem coordonatele punctelor A, Q și ale componentelor vectorului normal n :

Deci componentele AQ sunt:

Condiția pentru vectorul AQ să fie conținut în plan (P) este condiția (*) care acum este scrisă astfel:

Calculul produsului punctual rămâne:

Dacă este dezvoltat și reorganizat, rămâne:

Expresia anterioară este ecuația carteziană a unui plan (P), ca o funcție a componentelor unui vector normal la (P) și coordonatele unui punct A care aparține (P).

Condiții pentru ca trei vectori să nu fie coplanari

După cum se vede în secțiunea anterioară, condiția AQ • ( u X v ) = 0 garantează că vectorul AQ este coplanar față de u și v .

Dacă numim vectorul AQ w atunci putem afirma că:

w , u și v sunt coplanari, dacă și numai dacă w • ( u X v ) = 0.

Stare non-coplanaritate

Dacă produsul triplu (sau produsul mixt) de trei vectori este diferit de zero, acești trei vectori sunt non-coplanari.

Dacă w • ( u X v ) ≠ 0 atunci vectorii u, v și w sunt non-coplanari.

Dacă componentele carteziene ale vectorilor u, v și w sunt introduse, starea de non-coplanaritate poate fi scrisă astfel:

Produsul triplu are o interpretare geometrică și reprezintă volumul paralelipipedului generat de cei trei vectori non-coplanari.

Figura 2. Trei vectori non-coplanari definesc un paralelipiped al cărui volum este modulul triplu produs. (Elaborare proprie)

Motivul este următorul; Când doi dintre vectori ne-coplanari sunt înmulțiți vectorial, se obține un vector a cărui magnitudine este aria paralelogramei pe care o generează.

Atunci când acest vector este înmulțit scalar de al treilea vector necoplanar, ceea ce avem este proiecția către un vector perpendicular pe planul pe care primii doi îl determină înmulțit cu aria pe care ei o determină.

Cu alte cuvinte, avem aria paralelogramei generate de primele două înmulțite cu înălțimea celui de-al treilea vector.

Stare alternativă de non-coplanaritate

Dacă aveți trei vectori și oricare dintre ei nu poate fi scris ca o combinație liniară a celorlalți doi, atunci cei trei vectori sunt non-coplanari. Adică trei vectori u , v și w nu sunt coplanari dacă condiția:

α u + β v + γ w = 0

Se satisface numai când α = 0, β = 0 și γ = 0.

Exerciții rezolvate

-Exercitiul 1

Există trei vectori

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) și w = (-1, 2, z)

Rețineți că componenta z a vectorului w nu este cunoscută.

Găsiți intervalul de valori pe care le poate lua z astfel încât cei trei vectori li se garantează că nu împărtășesc același plan.

Soluţie

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Setăm această expresie egală cu valoarea zero

21 z + 18 = 0

și rezolvăm pentru z

z = -18 / 21 = -6/7

Dacă variabila z ar lua valoarea -6/7, atunci cei trei vectori ar fi coplanari.

Deci valorile lui z care garantează că vectorii sunt non-coplanari sunt cele din următorul interval:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Exercitiul 2

Găsiți volumul paralelipipedului prezentat în figura următoare:

Soluţie

Pentru a găsi volumul paralelipipedului prezentat în figură, se vor determina componentele carteziene ale a trei vectori concurenți non-coplanari la originea sistemului de coordonate. Primul este vectorul u de 4m și paralel cu axa X:

u = (4, 0, 0) m

Al doilea este vectorul v în planul XY de dimensiunea 3m care se formează 60º cu axa X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Iar al treilea este vectorul w de 5m și a cărui proiecție în planul XY se formează 60º cu axa X, în plus w formează 30º cu axa Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Odată efectuate calculele, avem: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Referințe

1. Serie Figueroa, D. Seria: Fizică pentru științe și inginerie. Volumul 1. Cinematica. 31-68.
2. Fizic. Modulul 8: Vectori. Recuperat din: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mecanici pentru ingineri. Static Ediția a VI-a. Editura Continental 28-66.
4. Seria McLean, W. Schaum. Mecanica pentru ingineri: statică și dinamică. Ediția a III-a. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Recuperat de la: es.wikipedia.org