Cei vectorilor liberi sunt cei care sunt pe deplin specificate de amploarea acesteia, direcția și sens, fără a fi necesară pentru a indica un punct de aplicare sau de o anumită origine.
Deoarece vectori infiniti pot fi desenați în acest fel, un vector liber nu este o singură entitate, ci un set de vectori paraleli și identici, care sunt independenți de locul în care se află.
Figura 1. Diverse vectori liberi. Sursa: realizată de sine.
Să zicem că avem mai mulți vectori de magnitudine 3 direcționați vertical în sus sau de magnitudine 5 și înclinați spre dreapta, ca în figura 1.
Niciunul dintre acești vectori nu este aplicat în mod specific în niciun moment. Apoi, oricare dintre vectorii albastri sau verzi este reprezentativ pentru grupul lor, deoarece caracteristicile lor - modul, direcție și sens - nu se schimbă deloc atunci când sunt transferați într-un alt loc al avionului.
Un vector gratuit este notat de obicei în text tipărit de o literă îngroșată, cu litere mici, de exemplu v. Sau cu o literă minusculă și o săgeată deasupra acesteia, dacă este text scris de mână .
Avantajul pe care îl au vectorii liberi este că pot fi deplasați prin avion sau prin spațiu și își mențin proprietățile, deoarece orice reprezentant al setului este la fel de valabil.
De aceea, în fizică și mecanică sunt folosite frecvent. De exemplu, pentru a indica viteza liniară a unui solid care se traduce, nu este necesar să alegeți un anumit punct pe obiect. Deci vectorul vitezei se comportă ca un vector liber.
Un alt exemplu de vector liber este perechea de forțe. Un cuplu este format din două forțe de mărime și direcție egale, dar de direcții opuse, aplicate în puncte diferite pe un solid. Efectul unui cuplu nu este acela de a muta obiectul, ci de a provoca o rotație datorită momentului produs.
Figura 2 prezintă câteva forțe aplicate pe volan. Prin forțele F 1 și F 2 , se creează cuplul care rotește volanta în jurul centrului său și în sensul acelor de ceasornic.
Figura 2. Câteva forțe aplicate pe volan îi oferă o rotire în sensul acelor de ceasornic. Sursa: Bielasko.
Puteți face unele modificări ale cuplului și obțineți totuși același efect rotativ, de exemplu, creșterea forței, dar scăzând distanța dintre ele. Sau mențineți forța și distanța, dar aplicați cuplul pe o altă pereche de puncte pe volan, adică rotiți cuplul în jurul centrului.
Momentul cuplului sau pur și simplu al cuplului, este un vector al cărui modul este Fd și este direcționat perpendicular pe planul volantului. În exemplul prezentat prin convenție, rotația în sensul acelor de ceasornic are o direcție negativă.
Proprietăți și caracteristici
Spre deosebire de vectorul liber v, vectorii AB și CD sunt fixați (vezi figura 3), deoarece au un punct de plecare și punct de sosire specificat. Dar, întrucât sunt coechipieri între ei și, la rândul lor, cu vectorul v , sunt reprezentanți ai vectorului liber v .
Figura 3. Vectori liberi, vectori cu lentile pentru echipă și vectori fixi. Sursa: realizată de sine.
Principalele proprietăți ale vectorilor liberi sunt următoarele:
-Orice vector AB (a se vedea figura 2) este, după cum s-a spus, reprezentativ pentru vectorul liber v .
-Modulul, direcția și sensul sunt aceleași în orice reprezentant al vectorului liber. În figura 2, vectorii AB și CD reprezintă vectorul liber v și fac obiectiv pentru echipă.
-Pentru un punct P în spațiu, este întotdeauna posibil să găsiți un reprezentant al vectorului liber v a cărui origine este în P și acest reprezentant este unic. Aceasta este cea mai importantă proprietate a vectorilor liberi și cea care îi face atât de versatili.
-Un vector liber nul este notat ca 0 și este ansamblul tuturor vectorilor care nu au magnitudine, direcție și sens.
-Dacă vectorul AB reprezintă vectorul liber v , atunci vectorul BA reprezintă vectorul liber - v .
-Notația V 3 va fi folosită pentru a desemna setul tuturor vectorilor liberi din spațiu și V 2 pentru a desemna toți vectorii liberi din plan.
Exerciții rezolvate
Cu vectorii liberi, se pot efectua următoarele operații:
-Sumă
-Scădere
-Multiplicarea scalarului de către un vector
-Produs calcar între doi vectori.
-Produs încrucișat între doi vectori
-Combinație liniară de vectori
Și altele.
-Exercitiul 1
Un student încearcă să înoate dintr-un punct de pe malul unui râu în altul care este direct opus. Pentru a obține acest lucru, înoată direct cu o viteză de 6 km / h, într-o direcție perpendiculară, totuși curentul are o viteză de 4 km / h care o deviază.
Calculați viteza rezultată a înotătorului și cât de mult este deviat de curent.
Soluţie
Viteza rezultată a înotătorului este suma vectorială a vitezei sale (în raport cu râul, trase vertical în sus) și viteza râului (trase de la stânga la dreapta), care se realizează așa cum este indicat în figura de mai jos:
Mărimea vitezei rezultate corespunde ipotenuzei triunghiului din dreapta prezentat, prin urmare:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Direcția poate fi calculată după unghiul față de perpendicular pe mal:
α = arctg (4/6) = 33,7 sau 56,3º în raport cu malul.
Exercițiul 2
Găsiți momentul perechii de forțe prezentate în figură:
Soluţie
Momentul este calculat de:
M = r x F
Unitățile momentului sunt lb-f.ft. Deoarece cuplul se află în planul ecranului, momentul este direcționat perpendicular pe acesta, fie spre exterior, fie spre interior.
Deoarece cuplul din exemplu tinde să rotească obiectul pe care este aplicat (care nu este prezentat în figură) în sensul acelor de ceasornic, acest moment este considerat a fi îndreptat către interiorul ecranului și cu un semn negativ.
Mărimea momentului este M = Fdsen a, unde a este unghiul dintre forță și vectorul r. Trebuie să alegeți un punct pentru a calcula momentul, care este un vector liber. Se alege originea sistemului de referință, prin urmare r merge de la O la punctul de aplicare a fiecărei forțe.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660.3 lb-f. picior
Momentul net este suma dintre M 1 și M 2 : -17329.5 lb-f. picior.
Referințe
- Beardon, T. 2011. O introducere a vectorilor. Recuperat de la: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Mecanica ingineriei: statică. Addison Wesley. 38-52.
- Serie Figueroa, D. Seria: Fizică pentru științe și inginerie. Volumul 1. Cinematica .. 31-68.
- Fizic. Modulul 8: Vectori. Recuperat din: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mecanici pentru ingineri. Static Ediția a VI-a. Editura Continental. 15-53.
- Calculator de adăugare vectorială Recuperat din: 1728.org
- Vectorii. Recuperat din: en.wikibooks.org