VECTORI ÎN SPAȚIU: CUM SĂ GRAFIC, APLICAȚII, EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Un vector în spațiu este tot ceea ce este reprezentat de un sistem de coordonate dat de x, y și z. De cele mai multe ori planul xy este planul de suprafață orizontal și axa z reprezintă înălțimea (sau adâncimea).

Axele de coordonate carteziene prezentate în figura 1 împart spațiul în 8 regiuni numite octanti, analog cu modul în care axele x - y împart planul în 4 cadrane. Vom avea apoi 1 octant, 2 octant și așa mai departe.

Figura 1. Un vector în spațiu. Sursa: realizată de sine.

Figura 1 conține o reprezentare a unui vector v în spațiu. Este necesară o anumită perspectivă pentru a crea iluzia a trei dimensiuni pe planul ecranului, lucru obținut prin desenarea unei vederi oblice.

Pentru a grafica un vector 3D, trebuie să folosiți liniile punctate care determină pe grilă coordonatele proiecției sau „umbra” lui v pe suprafața xy. Această proiecție începe de la O și se încheie în punctul verde.

Odată ajuns acolo, trebuie să continuați de-a lungul înălțimii (sau adâncimii) necesare în funcție de valoarea lui z, până când ajungeți la P. Vectorul este desenat începând de la O și terminând de la P, care este în exemplul 1 octant.

Aplicații

Vectoarele din spațiu sunt utilizate pe scară largă în mecanică și în alte ramuri ale fizicii și ingineriei, deoarece structurile care ne înconjoară necesită geometrie în trei dimensiuni.

Vectorii de poziție din spațiu sunt folosiți pentru a poziționa obiecte în raport cu un punct de referință numit originea OR. Prin urmare, acestea sunt, de asemenea, instrumente necesare în navigare, dar nu este totul.

Forțele care acționează asupra structurilor precum șuruburile, suporturile, cablurile, șuvițele și multe altele sunt de natură vectorială și sunt orientate în spațiu. Pentru a-și cunoaște efectul, este necesar să-i cunoaștem adresa (și, de asemenea, punctul de aplicare).

Și frecvent direcția unei forțe este cunoscută prin cunoașterea a două puncte din spațiu care aparțin liniei sale de acțiune. În acest fel forța este:

F = F u

În cazul în care F este amploarea sau magnitudinea forței și u este vectorul unitate (modulul 1) direcționat de-a lungul liniei de acțiune F .

Notare și reprezentări 3D Vector

Înainte de a continua să rezolvăm câteva exemple, vom examina pe scurt notația vectorială 3D.

În exemplul din figura 1, vectorul v, al cărui punct de origine coincide cu originea O și al cărui capăt este punctul P, are coordonate xyz pozitive, în timp ce coordonata y este negativă. Aceste coordonate sunt: ​​x ₁ , y ₁ , z ₁ , care sunt exact coordonatele lui P.

Deci, dacă avem un vector legat de origine, adică al cărui punct de plecare coincide cu O, este foarte ușor să indicăm coordonatele sale, care vor fi cele ale punctului extrem sau P. Pentru a distinge un punct și un vector, vom folosi ultimele litere îndrăznețe și paranteze, astfel:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

În timp ce punctul P este notat cu paranteze:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

O altă reprezentare folosește vectorii unității i , j și k care definesc cele trei direcții ale spațiului pe axele x, y și respectiv z.

Acești vectori sunt perpendiculari între ei și formează o bază ortonormală (vezi figura 2). Aceasta înseamnă că un vector 3D poate fi scris în termeni ca:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Unghiuri și Coșine de director pentru un vector

Figura 2 arată, de asemenea, unghiurile directoare γ ₁ , γ ₂ și γ _{3 pe} care vectorul v le realizează respectiv cu axele x, y și z. Cunoscând aceste unghiuri și amploarea vectorului, acesta este complet determinat. În plus, cosinusurile unghiurilor regizorului întâlnesc următoarea relație:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Figura 2. Vectorii unității i, j și k determină cele 3 direcții preferențiale ale spațiului. Sursa: realizată de sine.

Exerciții rezolvate

-Exercitiul 1

În figura 2 unghiurile γ ₁ , γ ₂ și γ _{3 pe} care le formează vectorul v al modulului 50 cu axele coordonate sunt: ​​75,0º, 60,0º și 34,3º. Găsiți componentele carteziene ale acestui vector și reprezentați-l în termenii vectorilor unității i , j și k .

Soluţie

Proiecția vectorului v pe axa _x este v _x = 50. cos 75º = 12.941. În același mod, proiecția lui v pe axa y este v _y = 50 cos 60 º = 25 și în sfârșit pe axa z este v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Acum v poate fi exprimat ca:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Exercitiul 2

Găsiți tensiunile din fiecare dintre cablurile care țin găleata în figura care este în echilibru, dacă greutatea sa este de 30 N.

Figura 3. Schema de stres pentru exercițiul 2.

Soluţie

Pe găleată, diagrama corpului liber indică faptul că T _D (verde) compensează greutatea W (galben), deci T _D = W = 30 N.

La nod, vectorul T _D este direcționat vertical în jos, apoi:

T _D = 30 (- k ) N

Pentru a stabili tensiunile rămase, urmați acești pași:

Pasul 1: Găsiți coordonatele tuturor punctelor

A = (4,5,0,3) (A se află pe planul peretelui xz)

B = (1,5,0,0) (B este pe axa x)

C = (0, 2.5, 3) (C este pe planul peretelui și z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D este pe planul orizontal xy)

Pasul 2: Găsiți vectorii în fiecare direcție scăzând coordonatele sfârșitului și începutului

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1,5; unu; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

Pasul 3: Calculați modulele și vectorii de unitate

Un vector unitar este obținut prin expresia: u = r / r, cu r (cu litere aldine) fiind vectorul și r (nu cu litere aldine) fiind modulul vectorului menționat.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4,5 = <0,67; -0.33; 0,67>

u _DC = <-1,5; unu; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -unu; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Pasul 4: Exprimați toate tensiunile ca vectori

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0.33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -unu; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Pasul 5: Aplicați condiția de echilibru static și rezolvați sistemul de ecuații

În cele din urmă, condiția de echilibru static se aplică pe găleată, astfel încât suma vectorială a tuturor forțelor de pe nod este zero:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Deoarece tensiunile sunt în spațiu, va rezulta un sistem de trei ecuații pentru fiecare componentă (x, y și z) a tensiunilor.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Soluția este: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Referințe

1. Bedford, 2000. A. Mecanica ingineriei: statică. Addison Wesley. 38-52.
2. Serie Figueroa, D. Seria: Fizică pentru științe și inginerie. Volumul 1. Cinematica .. 31-68.
3. Fizic. Modulul 8: Vectori. Recuperat din: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mecanici pentru ingineri. Static Ediția a VI-a. Editura Continental. 15-53.
5. Calculator de adăugare vectorială Recuperat din: 1728.org