- Cum să duci vectorul normal la un avion?
- Vectorul normal din produsul vectorial
- Exemplu
- Soluţie
- Calculul produsului vectorial
- Ecuația avionului
- Referințe
Vectorul normală este una care definește direcția perpendiculară pe o entitate geometrică în considerare, care poate fi de o curbă, un plan sau o suprafață, de exemplu.
Este un concept foarte util în poziționarea unei particule în mișcare sau a unei suprafețe în spațiu. În graficul următor este posibil să vedem cum este vectorul normal pentru o curbă C arbitrară:
Figura 1. O curbă C cu vectorul normal la curba din punctul P. Sursa: Svjo
Luați în considerare un punct P pe curba C. Punctul poate reprezenta o particulă în mișcare care se deplasează de-a lungul unei căi în formă de C. Linia tangentă către curba din punctul P este desenată în roșu.
Rețineți că vectorul T este tangent cu C în fiecare punct, în timp ce vectorul N este perpendicular pe T și indică centrul unui cerc imaginar al cărui arc este un segment de C. Vectoarele sunt notate cu caractere aldine în text tipărit, pentru distinge-le de alte cantități care nu sunt vectoriale.
Vectorul T indică întotdeauna unde se deplasează particulele, de aceea indică viteza particulei. Pe de altă parte, vectorul N indică întotdeauna direcția în care se rotește particulele, în acest fel indică concavitatea curbei C.
Cum să duci vectorul normal la un avion?
Vectorul normal nu este neapărat un vector de unitate, adică un vector al cărui modul este 1, dar, dacă da, se numește un vector normal de unitate.
Figura 2. În stânga, un plan P și cei doi vectori normal pentru planul menționat. În dreapta vectorii unității în cele trei direcții care determină spațiul. Sursa: Wikimedia Commons. Vezi pagina pentru autor
În multe aplicații este necesar să cunoaștem vectorul normal pe un plan și nu pe o curbă. Acest vector dezvăluie orientarea planului menționat în spațiu. De exemplu, luați în considerare planul P (galben) al figurii:
La acest plan există doi vectori normali: n 1 și n 2 . Utilizarea unuia sau altuia va depinde de contextul în care se găsește planul menționat. Obținerea vectorului normal la un plan este foarte simplă dacă ecuația planului este cunoscută:
Aici vectorul N este exprimat în termenii vectorilor unității perpendiculare i , j și k , direcționate de-a lungul celor trei direcții care determină spațiul xy, vezi figura 2 dreapta.
Vectorul normal din produsul vectorial
O procedură foarte simplă pentru a găsi vectorul normal face uz de proprietățile produsului vector între doi vectori.
După cum se știe, trei puncte diferite și care nu sunt colineare între ele, determină un plan P. Acum, este posibil să se obțină doi vectori u și v care aparțin planului menționat având aceste trei puncte.
Odată obținuți vectorii, produsul vectorial u x v este o operație al cărui rezultat este la rândul său un vector, care are proprietatea de a fi perpendicular pe planul determinat de u și v .
Cunoscut acest vector, este notat ca N și din acesta va fi posibilă determinarea ecuației planului grație ecuației indicate în secțiunea precedentă:
N = u x v
Figura următoare ilustrează procedura descrisă:
Figura 3. Cu doi vectori și produsul sau crucea lor vectorială, se determină ecuația planului care conține cei doi vectori. Sursa: Wikimedia Commons. Nu a fost furnizat niciun autor care poate fi citit de mașină. S-a asumat M.Romero Schmidtke (bazat pe revendicări de copyright).
Exemplu
Găsiți ecuația planului determinată de punctele A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Soluţie
Acest exercițiu ilustrează procedura descrisă mai sus. Având 3 puncte, unul dintre ei este ales ca origine comună a doi vectori care aparțin planului definit de aceste puncte. De exemplu, punctul A este stabilit ca origine și vectori AB și AC sunt construiți .
Vectorul AB este vectorul a cărui origine este punctul A și al cărui punct final este punctul B. Coordonatele vectorului AB sunt determinate prin scăderea coordonatelor lui B din coordonatele lui A:
Procedăm în același mod pentru a găsi vectorul AC :
Calculul produsului vectorial
Există mai multe proceduri pentru a găsi produsul încrucișat între doi vectori. Acest exemplu utilizează o procedură mnemonică care folosește figura următoare pentru a găsi produsele vectoriale între vectorii unității i , j și k:
Figura 4. Grafic pentru a determina produsul vectorial între vectorii unității. Sursa: realizată de sine.
Pentru început, este bine să ne amintim că produsele vectoriale între vectori paraleli sunt nule, prin urmare:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Și din moment ce produsul vectorial este un alt vector perpendicular pe vectorii participanți, care se deplasează în direcția săgeții roșii avem:
Dacă trebuie să vă deplasați în direcția opusă săgeții, atunci adăugați un semn (-):
În total, este posibil să se facă 9 produse vectoriale cu vectorii unității i , j și k , dintre care 3 vor fi nule.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Ecuația avionului
Vectorul N a fost determinat de produsul vector calculat anterior:
N = 2 i -8 j -2 k
Prin urmare, a = 2, b = -8, c = -2, avionul căutat este:
Valoarea lui d rămâne de determinat. Acest lucru este ușor dacă valorile oricăruia dintre punctele A, B sau C disponibile sunt înlocuite în ecuația planului. Alegerea C de exemplu:
x = 4; y = 2; z = 1
Remains:
Pe scurt, harta căutată este:
Cititorul curios poate să se întrebe dacă s-ar fi obținut același rezultat dacă în loc să facă AB x AC ar fi fost ales să facă AC x AB. Răspunsul este da, planul determinat de aceste trei puncte este unic și are doi vectori normali, așa cum se arată în figura 2.
În ceea ce privește punctul selectat ca origine a vectorilor, nu există nicio problemă în alegerea oricărui alt doi.
Referințe
- Figueroa, D. (2005). Serie: fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. Cinematica. Editat de Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Găsirea normală a unui avion. Recuperat din: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Calcul și geometrie analitică. Mc Graw Hill. 616-647.
- Linii și avioane în R 3. Recuperat din: math.harvard.edu.
- Vector normal. Recuperat de pe mathworld.wolfram.com.