VECTOR VECTOR: ECUAȚIA LINIEI, EXERCIȚII REZOLVATE - FIZIC - 2025

Se înțelege că un vector director este acela care definește direcția unei linii, fie în plan, fie în spațiu. Prin urmare, un vector paralel cu linia poate fi considerat ca un vector directiv al acesteia.

Acest lucru este posibil datorită unei axiome a geometriei euclidiene care spune că două puncte definesc o linie. Apoi, segmentul orientat format din aceste două puncte definește, de asemenea, un vector director al liniei menționate.

Figura 1. Vectorul director al unei linii. (Elaborare proprie)

Având în vedere un punct P aparținând liniei (L) și dat unui vector director u al acelei linii, linia este complet determinată.

Ecuația liniei și a vectorului director

Figura 2. Ecuația vectorului de linie și director. (Elaborare proprie)

Având un punct P al coordonatelor P: (Xo, I) și un vector u director al unei linii (L), fiecare punct Q al coordonatelor Q: (X, Y) trebuie să satisfacă faptul că vectorul PQ este paralel cu u. Această ultimă condiție este garantată dacă PQ este proporțional cu u :

PQ = t⋅ u

în expresia de mai sus t este un parametru care aparține numerelor reale.

Dacă componentele carteziene ale PQ și u sunt scrise, ecuația de mai sus este scrisă după cum urmează:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Dacă componentele egalității vectoriale sunt egalizate, se obține următoarea pereche de ecuații:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Ecuația parametrică a liniei

Coordonatele X și Y ale unui punct aparținând liniei (L) care trece printr-un punct de coordonate (Xo, Yo) și este paralelă cu vectorul director u = (a, b) sunt determinate prin atribuirea de valori reale parametrului variabil t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Exemplul 1

Pentru a ilustra semnificația ecuației parametrice a liniei, luăm ca vector directiv

u = (a, b) = (2, -1)

și ca punct cunoscut al liniei punctul

P = (Xo, I) = (1, 5).

Ecuația parametrică a liniei este:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Pentru a ilustra semnificația acestei ecuații, este prezentată figura 3, unde parametrul t își schimbă valoarea și punctul Q de coordonate (X, Y) ocupă poziții diferite pe linie.

Figura 3. PQ = t u. (Elaborare proprie)

Linia în formă vectorială

Având un punct P pe linie și vectorul său director u, ecuația liniei poate fi scrisă sub formă de vector:

OQ = OP + λ⋅ u

În ecuația de mai sus, Q este orice punct, dar aparține liniei și λ un număr real.

Ecuația vectorială a liniei este aplicabilă oricărui număr de dimensiuni, chiar și o hiper-linie poate fi definită.

În cazul tridimensional pentru un vector director u = (a, b, c) și un punct P = (Xo, Yo, Zo), coordonatele unui punct generic Q = (X, Y, Z) aparținând liniei este :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemplul 2

Luați în considerare din nou linia care are ca vector de direcție

u = (a, b) = (2, -1)

și ca punct cunoscut al liniei punctul

P = (Xo, I) = (1, 5).

Ecuația vectorială a liniei menționate este:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma continuă a liniei și a vectorului director

Pornind de la forma parametrică, ștergerea și echivalarea parametrului λ, avem:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Aceasta este forma simetrică a ecuației liniei. Rețineți că a, b și c sunt componentele vectorului director.

Exemplul 3

Luați în considerare linia care are ca vector de direcție

u = (a, b) = (2, -1)

și ca punct cunoscut al liniei punctul

P = (Xo, I) = (1, 5). Găsiți-i forma simetrică.

Forma simetrică sau continuă a liniei este:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Forma generală a ecuației liniei

Forma generală a liniei în planul XY este cunoscută ca ecuația care are următoarea structură:

A⋅X + B⋅Y = C

Expresia pentru forma simetrică poate fi rescrisă pentru a avea forma generală:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

comparând cu forma generală a liniei este:

A = b, B = -a și C = b⋅Xo - a⋅Yo

Exemplul 3

Găsiți forma generală a liniei al cărui vector de director este u = (2, -1)

și care trece prin punctul P = (1, 5).

Pentru a găsi forma generală putem folosi formulele date, cu toate acestea va fi aleasă o cale alternativă.

Începem prin a găsi vectorul dublu w al vectorului director u, definit ca vector obținut prin schimbul componentelor lui u și înmulțirea celui de-al doilea cu -1:

w = (-1, -2)

vectorul dublu w corespunde unei rotiri de 90 ° în sensul acelor de ceasornic al vectorului director v .

Înmulțim scalar w cu (X, Y) și cu (Xo, Yo) și stabilim egal:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

rămânând în cele din urmă:

X + 2Y = 11

Forma standard a ecuației liniei

Este cunoscută ca forma standard a liniei în planul XY, una care are următoarea structură:

Y = m⋅X + d

unde m reprezintă panta și d interceptarea cu axa Y.

Având în vedere vectorul de direcție u = (a, b), panta m este b / a.

Yd este obținut prin substituirea lui X și Y cu punctul cunoscut Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Pe scurt, m = b / a și d = I - (b / a) Xo

Rețineți că panta m este coeficientul dintre componenta y a vectorului director și componenta x a acestuia.

Exemplul 4

Găsiți forma standard a liniei al cărei vector de director este u = (2, -1)

și care trece prin punctul P = (1, 5).

m = -½ și d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Exerciții rezolvate

-Exercitiul 1

Găsiți un vector director al liniei (L) care este intersecția planului (Π): X - Y + Z = 3 și planul (Ω): 2X + Y = 1.

Scrieți apoi forma continuă a ecuației liniei (L).

Soluţie

Din ecuația clearance-ului planului (Ω) Y: Y = 1 -2X

Atunci înlocuim ecuația planului (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Apoi parametrizăm X, alegem parametrizarea X = λ

Aceasta înseamnă că linia are o ecuație vectorială dată de:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

care poate fi rescris ca:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

cu care este clar că vectorul u = (1, -2, -3) este un vector director al liniei (L).

Forma continuă a liniei (L) este:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Exercitiul 2

Având în vedere planul 5X + a Y + 4Z = 5

și linia a cărei ecuație este X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determinați valoarea astfel încât planul și linia să fie paralele.

Soluția 2

Vectorul n = (5, a, 4) este un vector normal planului.

Vectorul u = (1, 3, -2) este un vector de direcție al liniei.

Dacă linia este paralelă cu planul, atunci n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referințe

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematica. Sala Prentice PTR.
2. Kolman, B. (2006). Algebră liniară. Pearson Education.
3. Leal, JM și Viloria, NG (2005). Geometrie analitică plan. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vectorii. Recuperat din: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Conceptele de bază ale geometriei. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.