TRIUNGHIURI: ISTORIC, ELEMENTE, CLASIFICARE, PROPRIETĂȚI - ŞTIINŢĂ - 2025

Cele triunghiuri sunt plate și închise figuri geometrice, format din trei laturi. Un triunghi este determinat de trei linii care se intersectează două câte două, formând trei unghiuri între ele. Forma triunghiulară, plină de simbolism, este prezentă în nenumărate obiecte și ca element de construcție.

Originea triunghiului se pierde în istorie. Din dovezile arheologice se știe că umanitatea primitivă o știa bine, întrucât rămășițele arheologice confirmă faptul că a fost folosită la unelte și arme.

Figura 1. Triunghiuri. Sursa: Publicdomainpictures.

Este, de asemenea, evident că vechii egipteni aveau o bună cunoaștere a geometriei și în special a formei triunghiulare. Ele erau reflectate în elementele arhitecturale ale clădirilor sale monumentale.

În papirusul Rhind se găsesc formule pentru calculul suprafețelor triunghiurilor și trapezilor, precum și unele volume și alte concepte ale trigonometriei rudimentare.

La rândul lor, se știe că babilonienii au fost capabili să calculeze aria triunghiului și a altor figuri geometrice, pe care le-au folosit în scopuri practice, cum ar fi diviziunile terestre. De asemenea, erau informați despre multe proprietăți ale triunghiurilor.

Cu toate acestea, grecii antici au sistematizat multe dintre conceptele geometrice predominante astăzi, deși o mare parte din această cunoaștere nu a fost exclusivă, deoarece cu siguranță a fost împărtășită cu aceste alte civilizații antice.

Elemente de triunghi

Elementele oricărui triunghi sunt indicate în figura următoare. Există trei: vârfuri, laturi și unghiuri.

Figura 2. Notarea triunghiurilor și a elementelor acestora. Sursa: Wikimedia Commons, modificată de F. Zapata

-Vertificatii : sunt punctele de intersectie a liniilor ale caror segmente determina triunghiul. În figura de mai sus, de exemplu, linia L _AC care conține segmentul AC, intersectează linia L _AB care conține segmentul AB exact în punctul A.

- Fețe : între fiecare pereche de vârfuri este desenat un segment de linie care constituie o parte a triunghiului. Acest segment poate fi notat cu literele finale sau prin utilizarea unei litere specifice pentru a-l apela. În exemplul din figura 2, latura AB se mai numește „c”.

- Unghiuri : Între fiecare parte cu un vârf comun este generat un unghi, al cărui vertex coincide cu cel al triunghiului. În general, unghiul este notat printr-o literă grecească, așa cum se spune la început.

Pentru a construi un anumit triunghi, cu o formă și dimensiune date, trebuie doar să aveți unul dintre următoarele seturi de date:

-Ce trei laturi, destul de evident în cazul unui triunghi.

-Doua laturi si unghiul dintre ele si imediat se trage partea ramasa.

-Doua unghiuri (interne) și partea dintre ele. Prin extensie, sunt desenate cele două părți care lipsesc și triunghiul este gata.

Notaţie

În general, în nota triunghiului se folosesc următoarele convenții: vârfurile sunt indicate cu litere latine majuscule, laturi cu litere latine minuscule și unghiuri cu litere grecești (vezi figura 2).

În acest fel triunghiul este numit în funcție de vârfurile sale. De exemplu, triunghiul din stânga din figura 2 este triunghiul ABC, iar cel din dreapta este triunghiul A'B'C '.

De asemenea, este posibil să utilizați și alte notații; de exemplu, unghiul α din figura 2 este notat ca BAC. Rețineți că litera vertexului merge la mijloc și literele sunt scrise într-o direcție anti-ceas.

Alte ori, un îngrijitor este folosit pentru a indica unghiul:

α = ∠A

Tipuri de triunghiuri

Există mai multe criterii pentru clasificarea triunghiurilor. Cel mai obișnuit este să le clasificați în funcție de măsura laturilor lor sau în funcție de măsura unghiurilor lor. În funcție de măsura laturilor lor, triunghiurile pot fi: scalenele, izoscelele sau echilaterale:

-Scaleno : cele trei părți ale sale sunt diferite.

-Isósceles : are două laturi egale și o latură diferită.

-Equilátero : cele trei părți sunt egale.

Figura 3. Clasificarea triunghiurilor pe laturile lor. Sursa: F. Zapata

În funcție de măsura unghiurilor lor, triunghiurile sunt denumite astfel:

- Obstrucție , dacă unul dintre unghiurile interne este mai mare de 90º.

- Unghiul acut , când cele trei unghiuri interne ale triunghiului sunt acute, adică mai puțin de 90º

- Rectangle , în cazul în care unul dintre unghiurile sale interne este în valoare de 90º. Laturile care formează 90º se numesc picioare, iar partea opusă unghiului drept este hipotenuză.

Figura 4. Clasificarea triunghiurilor după unghiurile lor interne. Sursa: F. Zapata.

Congruența triunghiurilor

Când două triunghiuri au aceeași formă și au aceeași dimensiune, se spune că sunt congruente. Desigur, congruența este legată de egalitate, deci de ce în geometrie vorbim de „două triunghiuri congruente” în loc de „două triunghiuri egale”?

Ei bine, este de preferat să folosești termenul „congruență” pentru a rămâne la adevăr, deoarece două triunghiuri pot avea aceeași formă și dimensiune, dar să fie orientate diferit în plan (a se vedea figura 3). Din punct de vedere al geometriei, ele nu ar mai fi strict aceleași.

Figura 5. Triunghiuri congruente, dar nu neapărat egale, deoarece orientarea lor în plan este diferită. Sursa: F. Zapata.

Criterii de congruență

Două triunghiuri sunt congruente dacă apare oricare dintre următoarele:

-Cele trei părți măsoară la fel (din nou aceasta este cea mai evidentă).

-Au două laturi identice și cu același unghi între ele.

-Totul au două unghiuri interne identice, iar latura dintre aceste unghiuri măsoară același lucru.

După cum se poate vedea, este vorba despre cele două triunghiuri care îndeplinesc condițiile necesare, astfel încât atunci când sunt construite, forma și dimensiunea lor să fie exact aceeași.

Criteriile de congruență sunt foarte utile, deoarece în practică, nenumărate piese și piese mecanice trebuie fabricate în serie, astfel încât măsurătorile și forma lor să fie exact aceleași.

Asemănarea triunghiurilor

Un triunghi este similar cu altul dacă au aceeași formă, chiar dacă au dimensiuni diferite. Pentru a se asigura că forma este aceeași, este necesar ca unghiurile interne să aibă aceeași valoare și ca părțile să fie proporționale.

Figura 6. Două triunghiuri similare: dimensiunile lor diferă, dar proporțiile sunt aceleași. Sursa: F. Zapata.

Triunghiurile din figura 2 sunt de asemenea similare, la fel și cele din figura 6. În acest fel:

În ceea ce privește părțile, există următoarele raporturi de similaritate:

Proprietăți

Proprietățile fundamentale ale triunghiurilor sunt următoarele:

-Suma unghiurilor interne ale oricărui triunghi este întotdeauna de 180º.

-Pentru orice triunghi, suma unghiurilor sale externe este egală cu 360 °.

- Un unghi extern al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri interioare care nu sunt învecinate cu unghiul respectiv.

teoreme

Prima teoremă a lui Thales

Acestea sunt atribuite filosofului și matematicianului grec Thales din Milet, care a dezvoltat mai multe teoreme legate de geometrie. Primul dintre aceștia afirmă următoarele:

Figura 7. Teorema lui Thales. Sursa: F. Zapata.

Cu alte cuvinte:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Prima teoremă a lui Thales este aplicabilă unui triunghi, de exemplu avem un triunghi albastru ABC în stânga, care este tăiat de paralelele roșii din dreapta:

Figura 8. Teorema lui Thales și triunghiuri similare.

Triunghiul violet AB'C 'este similar cu triunghiul albastru ABC, prin urmare, conform teoremei lui Thales, se pot scrie următoarele:

AB´ / AC´ = AB / AC

Și este în conformitate cu ceea ce a fost explicat anterior în segmentul similarității triunghiurilor. Apropo, liniile paralele pot fi, de asemenea, verticale sau paralele cu hipotenuză și triunghiuri similare sunt obținute în același mod.

A doua teoremă a lui Thales

Această teoremă se referă, de asemenea, la un triunghi și un cerc cu centrul O, cum ar fi cele prezentate mai jos. În această figură, AC este un diametru al circumferinței și B este un punct pe ea, B fiind diferit de A și B.

A doua teoremă a lui Thales afirmă că:

Figura 9. A doua teoremă a lui Thales. Sursa: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Teorema pitagoreică

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute teoreme din istorie. Se datorează matematicianului grec Pitagora din Samos (569 - 475 î.Hr.) și se aplică unui triunghi drept. Așa spune:

Dacă luăm ca exemplu triunghiul albastru din figura 8 sau triunghiul violet, deoarece ambele sunt dreptunghiuri, atunci se poate afirma că:

AC ² = AB ² + BC ² (triunghi albastru)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (triunghi violet)

Zona unui triunghi

Zona triunghiului este dată de produsul bazei sale a și înălțimea lui h, împărțită la 2. Și prin trigonometrie, această înălțime poate fi scrisă ca h = b sinθ.

Figura 10. Zona triunghiului. Sursa: Wikimedia Commons.

Exemple de triunghiuri

Exemplul 1

Se spune că prin prima sa teoremă, Thales a reușit să măsoare înălțimea Marii Piramide din Egipt, una dintre cele 7 minuni ale lumii antice, măsurând umbra pe care a proiectat-o ​​pe pământ și cea proiectată de o miză condusă în pământ.

Acesta este schița procedurii urmată de Povești:

Figura 11. Schema de măsurare a înălțimii Marii Piramide prin asemănarea triunghiurilor. Sursa: Wikimedia Commons. dake

Thales a presupus corect că razele soarelui se lovesc în paralel. Având în vedere acest lucru, el și-a imaginat marele triunghi din dreapta.

D este înălțimea piramidei și C este distanța de deasupra solului măsurată de la centru până la umbra aruncată de piramida de pe podeaua deșertului. Poate fi laborios să măsoare C, dar cu siguranță este mai ușor decât măsurarea înălțimii piramidei.

În stânga se află triunghiul mic, cu picioarele A și B, unde A este înălțimea mizei conduse vertical în pământ și B este umbra pe care o aruncă. Ambele lungimi sunt măsurabile, la fel și C (C este egală cu lungimea umbrei + jumătate din lungimea piramidei).

Deci, prin asemănarea triunghiurilor:

A / B = D / C

Iar înălțimea Marii Piramide se dovedește a fi: D = C. (A / B)

Exemplul 2

Construcțiile în construcții civile sunt structuri din bare subțiri drepte din lemn sau metal încrucișat, care sunt utilizate ca suport în multe clădiri. De asemenea, sunt cunoscuți sub denumirea de trusses, trusses sau tusses.

În ele triunghiurile sunt întotdeauna prezente, deoarece barele sunt interconectate în puncte numite noduri, care pot fi fixate sau articulate.

Figura 12. Triunghiul este prezent în cadrul acestui pod. Sursa: PxHere.

Exemplul 3

Metoda cunoscută sub denumirea de triangulație permite obținerea locației punctelor inaccesibile cunoscând alte distanțe mai ușor de măsurat, cu condiția să se formeze un triunghi care să includă locația dorită între vârfurile sale.

De exemplu, în figura următoare, dorim să știm unde este nava în mare, notată ca B.

Figura 13. Schema de triunghizare pentru localizarea navei. Sursa: Wikimedia Commons. Colette

În primul rând, se măsoară distanța dintre două puncte de pe coastă, care în figură sunt A și C. În continuare, unghiurile α și β trebuie determinate cu ajutorul unui teodolit, dispozitiv utilizat pentru măsurarea unghiurilor verticale și orizontale.

Cu toate aceste informații, este construit un triunghi în a cărui vertex superior este nava. Rămâne să calculăm unghiul γ, folosind proprietățile triunghiurilor și distanțele AB și CB folosind trigonometria, pentru a determina poziția navei în mare.

Exerciții

Exercitiul 1

În figura prezentată, razele soarelui sunt paralele. În acest fel, arborele de 5 metri înălțime aruncă o umbră de 6 metri pe pământ. În același timp, umbra clădirii este de 40 de metri. Urmând prima teoremă a lui Thales, găsiți înălțimea clădirii.

Figura 14. Schema pentru exercițiul rezolvat 1. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Triunghiul roșu are laturi de 5, respectiv 6 metri, în timp ce cel albastru are înălțimea H - înălțimea clădirii - și baza 40 metri. Ambele triunghiuri sunt similare, prin urmare:

Exercițiul 2

Trebuie să cunoașteți distanța orizontală dintre două puncte A și B, dar acestea sunt situate pe un teren foarte neuniform.

Aproximativ la punctul de mijloc (P _m ) al terenului menționat, iese în evidență o proeminență de 1,75 metri înălțime. Dacă banda măsurată indică 26 de metri lungime măsurată de la A la proeminență și 27 de metri de la B la același punct, găsiți distanța AB.

Figura 15. Schema pentru exercițiul rezolvat 2. Sursa: Jiménez, R. Matematică II. Geometrie și trigonometrie.

Soluţie

Teorema pitagoreică este aplicată unuia dintre cele două triunghiuri drepte din figură. Începând cu cel din stânga:

Hipotenuză = c = 26 metri

Înălțime = a = 1,75 metri

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Acum aplicați Pitagora în triunghiul din dreapta, de data aceasta c = 27 metri, a = 1,75 metri. Cu aceste valori:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Distanța AB se găsește adăugând aceste rezultate:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referințe

1. Baldor, JA 1973. Geometria planului și spațiului. Central American Cultural.
2. Barredo, D. Geometria triunghiului. Recuperat din: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematică II. Geometrie și trigonometrie. A doua editie. Pearson.
4. Wentworth, Geometria planului G. Recuperat de la: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triunghi. Recuperat din: es. wikipedia.org.