TRAIECTORIE ÎN FIZICĂ: CARACTERISTICI, TIPURI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Traiectoria în fizică este curba care un mobil descrie trecerea prin puncte succesive în timpul deplasării sale. Întrucât poate lua multe variante, la fel și traseele pe care le poate urma mobilul.

Pentru a ajunge dintr-un loc în altul, o persoană poate lua diferite căi și moduri diferite: pe jos, pe trotuare, pe străzi și bulevarde, sau ajungând cu mașina sau motocicleta pe o autostradă. În timpul unei plimbări prin pădure, drumețul poate urma un traseu complicat care include viraje, urcând sau coborând la nivel și chiar trecând prin același punct de mai multe ori.

Figura 1. Unirea punctelor finale ale fiecărui vector de poziție este obținută calea urmată de particulă. Sursa: Algarabia

Dacă punctele prin care se deplasează mobilul urmează o linie dreaptă, traiectoria va fi rectilinie. Aceasta este calea cea mai simplă, deoarece este unidimensională. Precizarea poziției necesită o singură coordonată.

Dar mobilul poate urma o cale curviliniară, putând fi închis sau deschis. În aceste cazuri, urmărirea poziției necesită două sau trei coordonate. Acestea sunt mișcări în plan, respectiv în spațiu. Aceasta are legătură cu legăturile: limitarea condițiilor materiale de mișcare. Câteva exemple sunt:

- Orbitele care descriu planetele din jurul soarelui sunt căi închise în formă de elipsă. Deși, în unele cazuri, ele pot fi aproximate la o circulară, ca în cazul Pământului.

- Mingea pe care portarul îl lovește într-o lovitură de poartă urmează o traiectorie parabolică.

- O pasăre în zbor descrie traiectoriile curbiline în spațiu, deoarece pe lângă faptul că se deplasează pe un avion, poate urca sau coborî în nivele în voie.

Traiectoria în fizică poate fi exprimată matematic atunci când poziția mobilului este cunoscută în orice moment al timpului. Fie r vectorul de poziție, care la rândul său are coordonate x, y și z în cazul cel mai general al unei mișcări tridimensionale. Cunoscând funcția r (t) traiectoria va fi complet determinată.

Tipuri

În termeni generali, traiectoria poate fi o curbă destul de complicată, mai ales dacă doriți să o exprimați matematic. Din acest motiv, începe cu cele mai simple modele, în care mobilele călătoresc pe o linie dreaptă sau pe un avion, care poate fi podeaua sau oricare altul potrivit:

Mișcări într-una, două și trei dimensiuni

Cele mai studiate traiectorii sunt:

- dreptunghiular , atunci când circulați pe o linie dreaptă orizontală, verticală sau înclinată. O minge aruncată vertical în sus urmează această cale sau urmează un obiect care alunecă pe o înclinare. Sunt mișcări unidimensionale, o singură coordonată fiind suficientă pentru a-și determina poziția complet.

- Parabolic , în care mobilul descrie un arc de parabolă. Este frecvent, deoarece orice obiect aruncat oblic sub acțiunea gravitației (un proiectil) urmărește această traiectorie. Pentru a specifica poziția mobilului, trebuie să dați două coordonate: x și y.

- Circular , apare atunci când particulele în mișcare urmează un cerc. De asemenea, este comună în natură și în practica de zi cu zi. Multe obiecte de zi cu zi urmează o cale circulară, cum ar fi pneuri, piese pentru mașini și sateliți care orbitează, pentru a da câteva exemple.

- Eliptic , obiectul se mișcă în urma unei elipse. După cum s-a spus la început, este calea urmată de planetele în orbită în jurul soarelui.

- Obiectele astronomice hiperbolice , sub acțiunea unei forțe centrale (gravitația), pot urma traiectorii eliptice (închise) sau hiperbolice (deschise), acestea fiind mai puțin frecvente decât primele.

- elicoidală , sau o mișcare în spirală, cum ar fi cea a unui crescător de păsări într - un curent termic.

- Sway sau pendul , mobilul descrie un arc în mișcări înainte și înapoi.

Exemple

Traiectoriile descrise în secțiunea anterioară sunt foarte utile pentru a face rapid o idee despre cum se mișcă un obiect. În orice caz, este necesar să se clarifice că traiectoria unui mobil depinde de locația observatorului. Aceasta înseamnă că același eveniment poate fi văzut în moduri diferite, în funcție de locul în care se află fiecare persoană.

De exemplu, o fată pedalează cu o viteză constantă și aruncă o minge în sus. Ea observă că mingea descrie o cale rectilinie.

Cu toate acestea, pentru un observator care stă pe șosea, care vede că trece, mingea va avea o mișcare parabolică. Pentru el, mingea a fost aruncată inițial cu o viteză înclinată, rezultat al vitezei în sus de mâna fetei, plus viteza bicicletei.

Figura 2. Această animație arată aruncarea verticală a unei mingi realizată de o fată care călărește o bicicletă, așa cum o vede (traiectorie rectilinie) și cum o observă o vede (traiectorie parabolică). (Pregătit de F. Zapata).

Calea unui mobil în mod explicit, implicit și parametric

- Explicit , specificând direct curba sau locusul dat de ecuația y (x)

- Implicit , în care o curbă este exprimată ca f (x, y, z) = 0

- Parametric , în acest fel coordonatele x, y și z sunt date ca funcție a unui parametru care, în general, este ales ca timp t. În acest caz, traiectoria este compusă din funcțiile: x (t), y (t) și z (t).

În continuare, sunt detaliate două traiectorii care au fost studiate pe scară largă în cinematică: traiectoria parabolică și traiectoria circulară.

Lansare înclinată în gol

Un obiect (proiectilul) este aruncat într-un unghi a cu orizontală și cu viteza inițială v _o așa cum se arată în figură. Rezistența aerului nu este luată în considerare. Mișcarea poate fi tratată ca două mișcări independente și simultane: una orizontală cu viteză constantă și cealaltă verticală sub acțiunea gravitației.

Aceste ecuații sunt ecuațiile parametrice ale lansării proiectilelor. După cum am explicat mai sus, au un parametru comun t, care este timpul.

Următoarele pot fi văzute în triunghiul din dreapta:

Figura 3. Traiectoria parabolică urmată de un proiectil, în care sunt prezentate componentele vectorului de viteză. H este înălțimea maximă și R este atingerea orizontală maximă. Sursa: Ayush12gupta

Înlocuirea acestor ecuații care conține unghiul de lansare în ecuațiile parametrice rezultă:

Ecuația căii parabolice

Ecuația explicită a căii este găsită rezolvând t din ecuația pentru x (t) și substituind ecuația pentru y (t). Pentru a facilita munca algebrică, se poate presupune că originea (0,0) este localizată în punctul de lansare și, prin urmare, x _o = y _o = 0.

Aceasta este ecuația căii în formă explicită.

Calea circulară

O cale circulară este dată de:

Figura 4. O particulă se deplasează pe un traseu circular pe plan. Sursa: modificată de F. Zapata de la Wikimedia Commons.

Aici x _sau yy _o reprezintă centrul circumferinței descrise de mobil și R este raza acestuia. P (x, y) este un punct pe traseu. Din triunghiul drept umbrit (figura 3) se poate observa că:

Parametrul, în acest caz, este unghiul măturat θ, numit deplasare unghiulară. În cazul în care viteza unghiulară ω (unghiul mărit pe unitate de timp) este constantă, se poate afirma că:

În cazul în care θ _o este poziția unghiulară inițială a particulei, care, dacă este luată ca 0, se reduce la:

În acest caz, timpul revine la ecuațiile parametrice ca:

Vectorii unității i și j sunt foarte convenabili pentru scrierea funcției de poziție a unui obiect r (t). Acestea indică direcțiile de pe axa x, respectiv de pe axa y. În termenii săi, poziția unei particule care descrie o mișcare circulară uniformă este:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Exerciții rezolvate

Exercițiu rezolvat 1

Un tun poate trage un glonț cu viteza de 200 m / s și un unghi de 40º față de orizontală. Dacă aruncarea este pe sol plat și rezistența la aer este neglijată, găsiți:

a) Ecuația căii y (x) ..

b) Ecuațiile parametrice x (t) și y (t).

c) Intervalul orizontal și timpul în care proiectilul durează în aer.

d) Înălțimea la care se află proiectilul când x = 12.000 m

Solutie la)

a) Pentru a găsi traiectoria, valorile date în ecuația y (x) a secțiunii anterioare sunt substituite:

Soluția b)

b) Punctul de lansare este ales la originea sistemului de coordonate (0,0):

Soluție c)

c) Pentru a afla timpul în care proiectilul durează în aer, hai y (t) = 0, unde lansarea se face pe teren plat:

Golul orizontal maxim se găsește prin înlocuirea acestei valori în x (t):

Un alt mod de a găsi direct x _max este prin setarea y = 0 în ecuația căii:

Există o mică diferență datorită rotunjirii zecimilor.

Soluția d)

d) Pentru a găsi înălțimea când x = 12000 m, această valoare este substituită direct în ecuația căii:

Exercițiu rezolvat 2

Funcția de poziție a unui obiect este dată de:

r (t) = 3t i + (4 -5t ² ) j m

Găsi:

a) Ecuația pentru cale. Ce curbă este?

b) Poziția inițială și poziția când t = 2 s.

c) Deplasarea făcută după t = 2 s.

Soluţie

a) Funcția de poziție a fost dată în termenii vectorilor unității i și j , care determină direcția în axele x și y, prin urmare:

Ecuația căii y (x) se găsește rezolvând t de la x (t) și substituind în y (t):

b) Poziția inițială este: r (2) = 4 j m; poziția la t = 2 s este r (2) = 6 i -16 j m

c) Deplasarea D r este scăderea celor doi vectori de poziție:

Exercițiu rezolvat 3

Pământul are o rază R = 6300 km și se știe că perioada de rotație a mișcării sale în jurul axei sale este de o zi. Găsi:

a) Ecuația traiectoriei unui punct de pe suprafața pământului și funcția de poziție a acestuia.

b) Viteza și accelerația punctului respectiv.

Solutie la)

a) Funcția de poziție pentru orice punct din orbita circulară este:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Avem raza Pământului R, dar nu viteza unghiulară ω, cu toate acestea poate fi calculată din perioadă, știind că pentru mișcare circulară este valabil să spunem că:

Perioada mișcării este: 1 zi = 24 ore = 1440 minute = 86 400 secunde, deci:

Înlocuirea funcției de poziție:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

Calea în formă parametrică este:

Soluția b)

b) Pentru mișcare circulară, mărimea vitezei liniare v a unui punct este legată de viteza unghiulară w prin:

Chiar dacă este o mișcare cu o viteză constantă de 145,8 m / s, există o accelerație care indică spre centrul orbitei circulare, însărcinată să mențină punctul în rotație. Este accelerația centripetă la _c , dată de:

Referințe

1. Giancoli, D. Fizică. (2006). Principii cu aplicații. Sala ^a 6- ^a Prentice. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fizica: o privire asupra lumii. 6 ^ta Editarea prescurtată. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fizic. Volumul 1. A treia ediție în spaniolă. Mexic. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fundamentele fizicii. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitatea de fizică cu fizică modernă. 14 ^a . Ed. Volumul1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. 7 ^ma . Ediție. Mexic. Cengage Learning Editor. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fundamentele fizicii. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fizică 10. Educația Pearson. 133-149.