TEOREMA LUI TORRICELLI: DIN CE CONSTĂ, DIN FORMULE ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Teorema Torricelli sau principiu Torricelli afirmă că rata de lichid care iese din orificiul din peretele unui rezervor sau container, este identic cu cel dobândește un obiect este lăsat să cadă liber de la o înălțime egală cu suprafața fără lichid la gaură.

Teorema este ilustrată în următoarea figură:

Ilustrarea teoremei lui Torricelli. Sursa: realizată de sine.

Datorită teoremei lui Torricelli, putem afirma că viteza de ieșire a lichidului printr-un orificiu care se află la înălțimea h sub suprafața liberă a lichidului este dată de următoarea formulă:

În cazul în care g este accelerația gravitației și h este înălțimea de la gaura la suprafața liberă a lichidului.

Evangelista Torricelli a fost un fizician și matematician născut în orașul Faenza, în 1608. Torricelli este creditat cu invenția barometrului cu mercur și în recunoaștere există o unitate de presiune numită „torr”, echivalent cu un milimetru de mercur. (mm Hg).

Dovada teoremei

În teorema lui Torricelli și în formula care dă viteza, se presupune că pierderile de vâscozitate sunt neglijabile, la fel cum în căderea liberă se presupune că frecarea din cauza aerului care înconjoară obiectul care cade este neglijabilă.

Presupunerea de mai sus este rezonabilă în majoritatea cazurilor și implică, de asemenea, conservarea energiei mecanice.

Pentru a demonstra teorema, vom găsi mai întâi formula vitezei pentru un obiect care este eliberat cu viteză inițială zero, de la aceeași înălțime ca suprafața lichidului din rezervor.

Principiul conservării energiei va fi aplicat pentru a obține viteza obiectului căzător chiar atunci când a coborât o înălțime h egală cu cea de la gaura la suprafața liberă.

Deoarece nu există pierderi de frecare, este valabil să se aplice principiul conservării energiei mecanice. Să presupunem că obiectul căzător are masa m și înălțimea h este măsurată de la nivelul de ieșire al lichidului.

Obiect care a căzut

Când obiectul este eliberat de la o înălțime egală cu cea a suprafeței libere a lichidului, energia sa este doar potențial gravitațional, deoarece viteza sa este zero și, prin urmare, energia sa cinetică este zero. Energia potențială Ep este dată de:

Ep = mgh

Când trece prin fața găurii, înălțimea sa este zero, atunci energia potențială este zero, deci are energie cinetică Ec dată de:

Ec = ½ mv ²

Deoarece energia este conservată Ep = Ec din ceea ce este obținut:

½ mv ² = mgh

Rezolvând viteza v, formula Torricelli este obținută:

Lichidul care iese din gaură

În continuare vom găsi viteza de ieșire a lichidului prin orificiu, pentru a arăta că acesta coincide cu cea care tocmai a fost calculată pentru un obiect care se încadrează liber.

Pentru aceasta ne vom baza pe principiul lui Bernoulli, care nu este altceva decât conservarea energiei aplicate lichidelor.

Principiul lui Bernoulli este formulat astfel:

Interpretarea acestei formule este următoarea:

• Primul termen reprezintă energia cinetică a fluidului pe unitate de volum
• Al doilea reprezintă lucrul realizat prin presiune pe unitate de secțiune transversală
• Al treilea reprezintă energia potențială gravitațională pe unitatea de volum de fluid.

Deoarece pornim de la premisa că este un fluid ideal, în condiții non-turbulente, cu viteze relativ mici, atunci este pertinent să afirmăm că energia mecanică pe unitatea de volum din fluid este constantă în toate regiunile sau secțiunile sale transversale.

În această formulă V este viteza fluidului, ρ densitatea fluidului, P presiunea și z poziția verticală.

Figura de mai jos arată formula lui Torricelli pornind de la principiul lui Bernoulli.

Aplicăm formula lui Bernoulli pe suprafața liberă a lichidului pe care o notăm prin (1) și pe gaura de ieșire pe care o notăm prin (2). Nivelul zero a capului a fost ales cu gaura de ieșire.

Sub premisa că secțiunea transversală din (1) este mult mai mare decât în ​​(2), putem presupune că rata de coborâre a lichidului din (1) este practic neglijabilă.

Din acest motiv , V ₁ = 0 a fost setat , presiunea la care lichidul este supus în (1) este presiunea atmosferică și înălțimea măsurată de la orificiul este h.

Pentru secțiunea de ieșire (2) presupunem că viteza de ieșire este v, presiunea la care este supus lichidul la ieșire este, de asemenea, presiunea atmosferică și înălțimea de ieșire este zero.

Valorile corespunzătoare secțiunilor (1) și (2) sunt înlocuite în formula lui Bernoulli și setate egale. Egalitatea este valabilă pentru că presupunem că fluidul este ideal și nu există pierderi vâscoase de frecare. Odată ce toți termenii au fost simplificați, se obține viteza la orificiul de ieșire.

Caseta de mai sus arată că rezultatul obținut este același cu cel al unui obiect care cade liber,

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

I ) Conducta de evacuare mică a unui rezervor de apă se află la 3 m sub suprafața apei. Calculați viteza de ieșire a apei.

Soluţie:

Figura următoare arată cum se aplică formula lui Torricelli în acest caz.

Exercițiul 2

II ) Presupunând că conducta de evacuare a rezervorului din exercițiul anterior are un diametru de 1 cm, calculați debitul de ieșire a apei.

Soluţie:

Debitul este volumul lichidului care iese pe unitatea de timp și se calculează simplu prin înmulțirea zonei orificiului de ieșire cu viteza de ieșire.

Figura următoare prezintă detaliile calculului.

Exercițiul 3

III ) Determinați cât de mare este suprafața liberă a apei într-un recipient dacă știți

că într-o gaură din fundul recipientului, apa iese la 10 m / s.

Soluţie:

Chiar și atunci când gaura este în partea de jos a containerului, formula Torricelli poate fi încă aplicată.

Figura următoare prezintă detaliile calculelor.

Referințe

1. Wikipedia. Teorema lui Torricelli.
2. Hewitt, P. Știința fizică conceptuală. A cincea ediție .119.
3. Tânăr, Hugh. 2016. Sears-Zemansky's Physics University with Physics Modern. Ediția a 14-a Pearson. 384.