TEOREMA LUI STEINER: EXPLICAȚIE, APLICAȚII, EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Steiner e teorema , cunoscută și ca axă paralelă teorema, pentru a evalua momentul de inerție al unui corp extins, în jurul unei axe care este paralelă cu o altă trecere prin centrul de masă al obiectului.

A fost descoperit de matematicianul elvețian Jakob Steiner (1796 - 1863) și afirmă următoarele: să I _{CM să fie} momentul de inerție a obiectului în raport cu o axă care trece prin centrul său de masă CM și I _z momentul de inerție față de o altă axă paralel cu aceasta.

Figura 1. O ușă dreptunghiulară care se rotește pe balamalele sale are un moment de inerție care poate fi calculat aplicând teorema lui Steiner. Sursa: Pixabay.

Cunoscând distanța D care separă ambele axe și masa M a corpului în cauză, momentul inerției față de axa necunoscută este:

Momentul de inerție indică cât de ușor este un obiect să se rotească în jurul unei anumite axe. Depinde nu numai de masa corpului, ci de modul în care este distribuit. Din acest motiv este cunoscută și sub denumirea de inerție rotativă, fiind unitățile sale din Sistemul Internațional Kg. m ² .

Teorema arată că momentul de inerție I _Z este întotdeauna mai mare decât momentul de inerție I _CM printr - o cantitate dată de MD ² .

Aplicații

Deoarece un obiect este capabil să se rotească în jurul a numeroase axe, iar în tabele, de obicei, doar momentul de inerție este dat în ceea ce privește axa care trece prin centroid, teorema lui Steiner facilitează calculul atunci când este necesar să rotim corpurile pe axe. care nu se potrivesc cu asta.

De exemplu, o ușă în mod obișnuit nu se rotește în jurul unei axe prin centrul ei de masă, ci în jurul unei axe laterale, în care aderenta balamalele.

Cunoscând momentul inerției, este posibil să se calculeze energia cinetică asociată cu rotația în jurul axei menționate. Dacă K este energia cinetică, eu momentul de inerție în jurul axei în cauză și ω viteza unghiulară, rezultă că:

Această ecuație este foarte similară cu formula foarte familiară pentru energia cinetică pentru un obiect de masă M care se deplasează cu viteza v: K = ½ Mv ² . Și este faptul că momentul de inerție sau inerție rotativă I joacă același rol în rotație ca masa M în traducere.

Dovada teoremei lui Steiner

Momentul de inerție al unui obiect extins este definit ca:

I = ∫ r ² dm

Unde dm este o porțiune infinitesimală de masă și r este distanța dintre dm și axa de rotație z. În figura 2 această axă traversează centrul de masă CM, cu toate acestea poate fi oricare.

Figura 2. Un obiect extins în rotație în jurul a două axe paralele. Sursa: F. Zapata.

În jurul altei axe z, momentul inerției este:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Acum, în conformitate cu triunghiul format de vectorii D , r și r ' (a se vedea figura 2 din dreapta), există o sumă vectorială:

r + r ' = D → r' = D - r

Cei trei vectori se află pe planul obiectului, care poate fi xy. Originea sistemului de coordonate (0,0) este aleasă în CM pentru a facilita calculele care urmează.

În acest fel modulul pătrat al vectorului r ' este:

Acum această dezvoltare este înlocuită în integralitatea momentului de inerție I _z și se folosește și definiția densității dm = ρ.dV:

Termenul M. D ² care apare în teorema lui Steiner provine de la prima integrală, al doilea este momentul de inerție în raport cu axa care trece prin CM.

La rândul lor, cea de-a treia și a patra integrală valorează 0, deoarece prin definiție constituie poziția CM, care a fost aleasă ca origine a sistemului de coordonate (0,0).

Exerciții rezolvate

-Exercițiu rezolvat 1

Ușa dreptunghiulară din figura 1 are o masă de 23 kg, 1,30 lățime și 2,10 m înălțime. Determinați momentul de inerție a ușii în raport cu axa care trece prin balamale, presupunând că ușa este subțire și uniformă.

Figura 3. Schemă pentru exemplul lucrat 1. Sursa: modificat din Pixabay.

Soluţie

Dintr-un tabel de momente de inerție, pentru o placă dreptunghiulară de masă M și dimensiunile a și b, momentul de inerție în raport cu axa care trece prin centrul său de masă este: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Se va presupune o poartă omogenă (o aproximare, deoarece poarta din figură probabil nu este așa). Într-un astfel de caz, centrul de masă trece prin centrul său geometric. În figura 3 a fost trasată o axă care trece prin centrul de masă și este paralelă și cu axa care trece prin balamale.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Aplicarea teoremei lui Steiner pentru axa de rotație verde:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Exercițiu rezolvat 2

Găsiți momentul inerției unei tije subțiri omogene atunci când se rotește în jurul unei axe care trece prin unul dintre capetele sale, a se vedea figura. Este mai mare sau mai mică decât momentul inerției când se rotește în jurul centrului său? De ce?

Figura 4. Schema pentru exemplul rezolvat 2. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Conform tabelului momentelor de inerție, momentul inerției I _CM al unei tije subțiri de masă M și lungime L este: I _CM = (1/12) ML ²

Iar teorema lui Steiner afirmă că atunci când este rotit în jurul unei axe care trece printr-un capăt D = L / 2 rămâne:

Este mai mare, deși nu pur și simplu de două ori, ci de 4 ori mai mult, deoarece cealaltă jumătate a tijei (care nu este umbrită în figură) se rotește descriind o rază mai mare.

Influența distanței până la axa de rotație nu este liniară, ci patratică. O masă care este de două ori distanța față de alta va avea un moment de inerție proporțional cu (2D) ² = 4D ² .

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Universitatea de Stat din Georgia Mișcarea de rotație. Recuperat din: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorema axei paralele. Recuperat din: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentele fizicii. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema axelor paralele. Recuperat de la: en.wikipedia.org