CE SUNT VECTORII COPLANARI? (CU EXERCIȚII REZOLVATE) - FIZIC - 2025

Cei Vectorii coplanare sau coplanară sunt acelea care sunt conținute în același plan. Când există doar doi vectori, aceștia sunt întotdeauna coplanari, deoarece există planuri infinite, este întotdeauna posibil să alegeți unul care le conține.

Dacă aveți trei sau mai mulți vectori, s-ar putea ca unii dintre ei să nu fie în același plan ca ceilalți, de aceea nu ar putea fi considerați coplanari. Figura următoare arată un set de vectori coplanari notat cu caractere aldine A , B , C și D :

Figura 1. Patru vectori coplanari. Sursa: realizată de sine.

Vectoarele sunt legate de comportamentul și proprietățile cantităților fizice relevante pentru știință și inginerie; de exemplu viteza, accelerația și forța.

O forță produce efecte diferite asupra unui obiect atunci când modul de aplicare este variat, de exemplu prin schimbarea intensității, direcției și direcției. Chiar și schimbând doar unul dintre acești parametri, rezultatele sunt considerabil diferite.

În multe aplicații, atât în ​​statică, cât și în dinamică, forțele care acționează asupra unui corp sunt pe același plan, de aceea sunt considerate coplanare.

Condiții pentru ca vectorii să fie coplanari

Pentru ca trei vectori să fie coplanari, ei trebuie să se întindă pe același plan și acest lucru se întâmplă dacă îndeplinesc oricare dintre următoarele condiții:

-Vectoarele sunt paralele, de aceea componentele lor sunt proporționale și liniar dependente.

-Produsul dvs. mixt este nul.

-Dacă aveți trei vectori și oricare dintre ei poate fi scris ca o combinație liniară a celorlalți doi, acești vectori sunt coplanari. De exemplu, un vector care rezultă din suma celorlalte două, cele trei sunt toate în același plan.

Alternativ, condiția de coplanaritate poate fi setată după cum urmează:

Produs mixt între trei vectori

Produsul mixt între vectori este definit cu trei vectori u , v și w, rezultând un scalar care rezultă din efectuarea următoarei operații:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

În primul rând, produsul încrucișat care este între paranteze este realizat: v x w , al cărui rezultat este un vector normal (perpendicular) pe planul în care se află atât v cât și w .

Dacă u este pe același plan ca v și w , în mod natural, produsul scalar (produs punct) între u și vectorul normal trebuie să fie 0. În acest fel se verifică că cei trei vectori sunt coplanari (se află pe același plan).

Atunci când produsul mixt nu este zero, rezultatul său este egal cu volumul paralelipipedului care are vectorii u , v și w ca laturi adiacente.

Aplicații

Forțe coplanare, concomitente și non-colineare

Forțele concurente sunt toate aplicate în același punct. Dacă sunt de asemenea coplanare, ele pot fi înlocuite cu una singură, care se numește forța rezultantă și are același efect ca forțele inițiale.

Dacă un corp este în echilibru datorită a trei forțe coplanare, concomitente și non-colineare (nu paralele), numite A , B și C, teorema lui Lamy indică faptul că relația dintre aceste forțe (mărimi) este următoarea:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Cu α, β și γ ca unghiuri opuse forțelor aplicate, așa cum se arată în figura următoare:

Figura 2. Trei forțe coplanare A, B și C acționează asupra unui obiect. Sursa: Kiwakwok la Wikipedia engleză

Exerciții rezolvate

-Exercitiul 1

Găsiți valoarea k astfel încât următorii vectori să fie coplanari:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Soluţie

Deoarece avem componentele vectorilor, se folosește criteriul produsului mixt, prin urmare:

u ( v x w ) = 0

Rezolvați v x w mai întâi . Vectorii vor fi exprimați în termenii vectorilor unității i , j și k care disting cele trei direcții perpendiculare în spațiu (lățime, înălțime și adâncime):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Acum avem în vedere produsul scalar între u și vectorul care a rezultat din operația anterioară, setând operația egală cu 0:

u · ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Valoarea căutată este: k = - 6

Deci, vectorul u este:

u = <-3, -6, 2>

-Exercitiul 2

Figura arată un obiect a cărui greutate este W = 600 N, agățat în echilibru datorită cablurilor plasate în unghiurile arătate în figura 3. Este posibil să se aplice teorema lui Lamy în această situație? În orice caz, găsiți mărimile T ₁ , T ₂ și T ₃ care fac posibil echilibrul.

Figura 3. O greutate atârnă în echilibru sub acțiunea celor trei solicitări prezentate. Sursa: realizată de sine.

Soluţie

Teorema lui Lamy este aplicabilă în această situație dacă este considerat nodul pe care se aplică cele trei solicitări, deoarece constituie un sistem de forțe coplanare. În primul rând, se face diagrama corpului liber pentru greutatea suspendată, pentru a determina mărimea T _3:

Figura 4. Diagrama corpului liber pentru greutatea suspendată. Sursa: realizată de sine.

Din condiția de echilibru rezultă că:

Unghiurile dintre forțe sunt marcate cu roșu în figura următoare, se poate verifica cu ușurință că suma lor este 360º. Acum este posibil să se aplice teorema lui Lamy, deoarece una dintre forțe și cele trei unghiuri dintre ele sunt cunoscute:

Figura 5.- În roșu unghiurile pentru a aplica teorema lui Lamy. Sursa: realizată de sine.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Prin urmare: T ₁ = sin 127º (W / păcat 106º) = 498,5 N

Din nou, teorema lui Lamy este aplicată pentru a rezolva T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referințe

1. Serie Figueroa, D. Seria: Fizică pentru științe și inginerie. Volumul 1. Cinematica. 31-68.
2. Fizic. Modulul 8: Vectori. Recuperat din: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mecanici pentru ingineri. Static Ediția a VI-a. Editura Continental 28-66.
4. Seria McLean, W. Schaum. Mecanica pentru ingineri: statică și dinamică. Ediția a III-a. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Recuperat de la: es.wikipedia.org.