PROBABILITATE TEORETICĂ: CUM SĂ-L OBȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - DUDAS - 2025

Probabilitatea teoretică (sau Laplace) de a se produce un eveniment E care aparține unui spațiu de probă S, în care toate evenimentele au aceeași probabilitate de apariție, este definită în notația matematică ca: P (E) = n (E) / N (S)

În cazul în care P (E) este probabilitatea, dată drept coeficientul dintre numărul total de rezultate posibile ale evenimentului E, pe care îl numim n (E), împărțit la numărul total N (S) al rezultatelor posibile în spațiul probei S.

Figura 1. În aruncarea unei matrițe cu șase fețe, probabilitatea teoretică ca capul cu trei puncte să fie deasupra este ⅙. Sursa: Pixabay.

Probabilitatea teoretică este un număr real între 0 și 1, dar este adesea exprimată în procente, caz în care probabilitatea va fi o valoare între 0% și 100%.

Calcularea probabilității producerii unui eveniment este foarte importantă în multe domenii, cum ar fi comerțul, companiile de asigurări, jocurile de noroc și multe altele.

Cum să obții probabilitatea teoretică?

Un caz ilustrativ este cazul unor tombole sau loterii. Să presupunem că sunt emise 1.000 de bilete pentru a extrage un smartphone. Pe măsură ce desenul se face la întâmplare, oricare dintre bilete are șanse egale de a fi câștigător.

Pentru a afla probabilitatea ca o persoană care cumpără un bilet cu numărul 81 să fie câștigătoare, se efectuează următorul calcul teoretic al probabilității:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Rezultatul de mai sus este interpretat după cum urmează: dacă remiza s-ar repeta la infinit de mai multe ori, la fiecare 1.000 de ori biletul 81 ar fi selectat, în medie, o dată.

Dacă, din orice motiv, cineva achiziționează toate biletele, cu siguranță va câștiga premiul. Probabilitatea de a câștiga premiul dacă aveți toate biletele este calculată după cum urmează:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Adică, că probabilitatea 1 sau 100% înseamnă că este total sigur că acest rezultat va apărea.

Dacă cineva deține 500 de bilete, șansele de a câștiga sau de a pierde sunt aceleași. Probabilitatea teoretică de a câștiga premiul în acest caz este calculată după cum urmează:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Cel care nu cumpără niciun bilet nu are șanse să câștige, iar probabilitatea sa teoretică este determinată după cum urmează:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Exemple

Exemplul 1

Aveți o monedă cu o față pe o parte și un scut sau sigiliu pe cealaltă. Când moneda este aruncată, care este probabilitatea teoretică ca acesta să apară?

P (față) = n (față) / N (față + scut) = ½ = 0,5 = 50%

Rezultatul este interpretat după cum urmează: dacă s-ar face un număr imens de aruncări, în medie, la fiecare 2 aruncări, una dintre ele ar veni în frunte.

În termeni procentuale, interpretarea rezultatului este că, făcând un număr infinit de mare de aruncări, în medie din 100 din ele 50 ar rezulta în capete.

Exemplul 2

Într-o cutie sunt 3 marmură albastră, 2 roșii și 1 verde. Care este probabilitatea teoretică ca atunci când scoți o marmură din cutie să fie roșie?

Figura 2. Probabilitatea de extracție a marmurilor colorate. Sursa: F. Zapata.

Probabilitatea ca acesta să apară roșu este:

P (roșu) = Număr de cazuri favorabile / Număr de cazuri posibile

Adică:

P (roșu) = Numărul de marmură roșie / Numărul total de marmură

În cele din urmă, probabilitatea ca o marmură roșie să fie trasă este:

P (roșu) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

În timp ce probabilitatea ca atunci când desenați o marmură verde este:

P (verde) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

În cele din urmă, probabilitatea teoretică de a obține o marmură albastră într-o extracție orb este:

P (albastru) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Adică, pentru fiecare 2 încercări, rezultatul va fi albastru într-una dintre ele și o altă culoare în altă încercare, sub premisa că marmura extrasă este înlocuită și că numărul încercărilor este foarte, foarte mare.

Exerciții

Exercitiul 1

Determinați probabilitatea ca rularea matriței să obțină o valoare mai mică sau egală cu 4.

Soluţie

Pentru a calcula probabilitatea producerii acestui eveniment, se va aplica definiția probabilității teoretice:

P (≤4) = Numărul de cazuri favorabile / Numărul de cazuri posibile

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Exercițiul 2

Găsiți probabilitatea ca pe două aruncări consecutive ale unei matrițe normale cu șase fețe, 5 să se rostogolească de 2 ori.

Soluţie

Pentru a răspunde la acest exercițiu, faceți un tabel care să arate toate posibilitățile. Prima cifră indică rezultatul primei matrițe și a doua rezultatul celeilalte.

Pentru a calcula probabilitatea teoretică trebuie să cunoaștem numărul total de cazuri posibile, în acest caz, așa cum se poate observa din tabelul anterior, există 36 de posibilități.

De asemenea, observând tabelul, se deduce că numărul de cazuri favorabile evenimentului în care în cele două lansări consecutive 5 apare doar 1, evidențiat cu culoare, prin urmare, probabilitatea ca acest eveniment să apară este:

P (5 x 5) = 1/36.

Acest rezultat s-ar fi putut ajunge și la utilizarea uneia dintre proprietățile probabilității teoretice, care afirmă că probabilitatea combinată a două evenimente independente este produsul probabilităților lor individuale.

În acest caz, probabilitatea ca prima aruncare să se rostogolească 5 este ⅙. A doua aruncare este complet independentă de prima, de aceea probabilitatea ca 5 să fie rulată în a doua este de asemenea ⅙. Deci, probabilitatea combinată este:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Exercițiul 3

Găsiți probabilitatea ca un număr mai mic de 2 să fie rulat pe prima aruncare și un număr mai mare de 2 să fie rulat pe a doua.

Soluţie

Din nou, trebuie construit un tabel cu evenimentele posibile, în care sunt subliniate cele în care prima aruncare a fost mai mică de 2 și în a doua mai mare de 2.

În total, există 4 posibilități dintr-un total de 36. Adică, probabilitatea acestui eveniment este:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

Folosind teorema probabilității care afirmă:

Se obține același rezultat:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11,11%

Valoarea obținută cu această procedură coincide cu rezultatul anterior, prin definiția teoretică sau clasică a probabilității.

Exercițiul 4

Care este probabilitatea ca la rularea a două zaruri suma valorilor să fie 7.

Soluţie

Pentru a găsi soluția în acest caz, a fost întocmit un tabel de posibilități în care cazurile care îndeplinesc condiția ca suma valorilor să fie 7 au fost indicate în culori.

Privind tabelul, se pot număra 6 cazuri posibile, deci probabilitatea este:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referințe

1. Canavos, G. 1988. Probabilitate și statistică: aplicații și metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și știință. 8-a. Ediție. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schaum: Probabilitate. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria probabilității. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și științe. Pearson.