PROBABILITATEA CONDIȚIONALĂ: FORMULĂ ȘI ECUAȚII, PROPRIETĂȚI, EXEMPLE - DUDAS - 2025

Probabilitatea condiționată este posibilitatea de apariție a unui anumit eveniment, având în vedere că un alt loc , ca o condiție. Aceste informații suplimentare pot modifica (sau nu) percepția că se va întâmpla ceva.

De exemplu, ne putem întreba: „Care este probabilitatea ca astăzi să plouă, având în vedere că nu a plouat timp de două zile?” Evenimentul pentru care dorim să știm probabilitatea este că astăzi plouă, iar informațiile suplimentare care ar condiționa răspunsul sunt că „nu a plouat timp de două zile”.

Figura 1. Probabilitatea de a ploua astăzi, având în vedere că a plouat ieri este, de asemenea, un exemplu de probabilitate condiționată. Sursa: Pixabay.

Fie un spațiu de probabilitate să fie compus din Ω (spațiu de probă), ℬ (evenimentele aleatorii) și P (probabilitatea fiecărui eveniment), plus evenimentele A și B care aparțin ℬ.

Probabilitatea condiționată de apariție A, având în vedere că a apărut B, care este notată ca P (A│B), este definită după cum urmează:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A și B) / P (B)

Unde: P (A) este probabilitatea apariției A, P (B) este probabilitatea evenimentului B și este diferită de 0, iar P (A∩B) este probabilitatea intersecției dintre A și B, adică , probabilitatea ca ambele evenimente să apară (probabilitatea comună).

Aceasta este o expresie pentru teorema lui Bayes aplicată la două evenimente, propusă în 1763 de teologul și matematicianul englez Thomas Bayes.

Proprietăți

-Toate probabilitățile condiționale sunt cuprinse între 0 și 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Probabilitatea ca evenimentul A să aibă loc, dat fiind faptul că se întâmplă, este în mod evident 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Dacă două evenimente sunt exclusive, adică evenimente care nu se pot întâmpla simultan, atunci probabilitatea condițională ca unul dintre ele să se întâmple este 0, deoarece intersecția este zero:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Dacă B este un subset de A, atunci probabilitatea condițională este de asemenea 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Important

P (A│B) în general nu este egal cu P (B│A), prin urmare, trebuie să fim atenți să nu schimbăm evenimentele atunci când găsim probabilitatea condiționată.

Regula generală a înmulțirii

De multe ori doriți să găsiți probabilitatea comună P (A∩B), mai degrabă decât probabilitatea condiționată. Apoi, prin următoarea teoremă avem:

P (A∩B) = P (A și B) = P (A│B). P (B)

Teorema poate fi extinsă pentru trei evenimente A, B și C:

P (A∩B∩C) = P (A și B și C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Și, de asemenea, pentru diferite evenimente, cum ar fi A ₁ , A ₂ , A ₃ și mai multe, acesta poate fi exprimat după cum urmează:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

Când este cazul evenimentelor care au loc în succesiune și prin diferite etape, este convenabil să se organizeze datele într-o diagramă sau într-un tabel. Acest lucru face mai ușor să vizualizați opțiunile de atingere a probabilității solicitate.

Exemple sunt diagrama arborelui și tabelul de urgență. De la unul dintre ei îl poți construi pe celălalt.

Exemple de probabilitate condiționată

Să ne uităm la unele situații în care probabilitățile unui eveniment sunt modificate de apariția altui:

- Exemplul 1

Două tipuri de prăjituri sunt vândute într-un magazin dulce: căpșuni și ciocolată. Prin înregistrarea preferințelor a 50 de clienți de ambele sexe, au fost determinate următoarele valori:

-27 de femei, dintre care 11 preferă prăjitura cu căpșuni și 16 ciocolată.

-23 bărbați: 15 aleg ciocolată și 8 căpșuni.

Probabilitatea ca un client să aleagă un tort de ciocolată poate fi determinată prin aplicarea regulii lui Laplace, conform căreia probabilitatea oricărui eveniment este:

P = numărul de evenimente favorabile / numărul total de evenimente

În acest caz, din 50 de clienți, un total de 31 preferă ciocolata, deci probabilitatea ar fi P = 31/50 = 0,62. Adică 62% dintre clienți preferă tortul cu ciocolată.

Dar ar fi altfel dacă clientul este femeie? Acesta este un caz de probabilitate condiționată.

Tabel de contingență

Utilizând un tabel de urgență ca acesta, totalurile sunt afișate cu ușurință:

Apoi se observă cazurile favorabile și se aplică regula lui Laplace, dar mai întâi definim evenimentele:

-B este evenimentul „client feminin”.

-Este evenimentul „prefer tortul cu ciocolată” ca femeie.

Mergem la coloana etichetată „femei” și acolo vedem că totalul este de 27.

Apoi, cazul favorabil este căutat în rândul „ciocolată”. Există 16 dintre aceste evenimente, de aceea probabilitatea căutată este direct:

P (A│B) = 16/27 = 0,55924

59,24% dintre clienții de sex feminin preferă tortul cu ciocolată.

Această valoare se potrivește când o contrastăm cu definiția inițial dată a probabilității condiționale:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Ne asigurăm că utilizăm regula lui Laplace și valorile tabelului:

P (B) = 27/50

P (A și B) = 16/50

În cazul în care P (A și B) este probabilitatea ca clientul să prefere ciocolata și să fie femeie. Acum valorile sunt înlocuite:

P (A│B) = P (A și B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Și este dovedit că rezultatul este același.

- Exemplul 2

În acest exemplu se aplică regula înmulțirii. Să presupunem că există pantaloni în trei dimensiuni pe afișaj într-un magazin: mic, mediu și mare.

Într-un lot cu un total de 24 de pantaloni, dintre care 8 din fiecare mărime și toate sunt mixte, care ar fi probabilitatea de a extrage două dintre ele și că erau amândoi mici?

Este clar că probabilitatea de a scoate un pantalon mic la prima încercare este de 8/24 = 1/3. Acum, cea de-a doua extracție este condiționată de primul eveniment, deoarece la îndepărtarea unei perechi de pantaloni, nu mai sunt 24, ci 23. Și dacă se scot un pantalon mic, există 7 în loc de 8.

Evenimentul A trage un pantaloni mici, după ce a tras un altul la prima încercare. Iar evenimentul B este cel cu pantalonii mici pentru prima dată. Prin urmare:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

În cele din urmă, folosind regula de multiplicare:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Exercițiu rezolvat

Într-un studiu al punctualității zborurilor comerciale aeriene, sunt disponibile următoarele date:

-P (B) = 0,83, este probabilitatea ca un avion să decoleze la timp.

-P (A) = 0,81, este probabilitatea de aterizare la timp.

-P (B∩A) = 0,78 este probabilitatea ca zborul să ajungă la timp la decolare.

I se cere să calculeze:

a) Care este probabilitatea ca avionul să aterizeze la timp, având în vedere că a decolat la timp?

b) Probabilitatea de mai sus este aceeași cu probabilitatea pe care ai lăsat-o la timp dacă ai reușit să aterizezi la timp?

c) Și în final: care este probabilitatea ca acesta să ajungă la timp, dat fiind faptul că nu a plecat la timp?

Figura 2. Punctualitatea pe zborurile comerciale este importantă, întrucât întârzierile produc pierderi de milioane de dolari. Sursa: Pixabay.

Solutie la

Pentru a răspunde la întrebare se folosește definiția probabilității condiționale:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A și B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Soluție b

În acest caz, evenimentele din definiție sunt schimbate:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A și B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Rețineți că această probabilitate este ușor diferită de cea anterioară, așa cum am arătat anterior.

Soluție c

Probabilitatea de a nu pleca la timp este 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, îl vom numi P (B ^C ), deoarece este evenimentul complementar care decolează la timp. Probabilitatea condiționată căutată este:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A și B ^C ) / P (B ^C )

Pe de altă parte:

P (A∩B ^C ) = P (aterizare la timp) - P (aterizare la timp și decolare la timp) = 0.81-0.78 = 0.03

În acest caz, probabilitatea condiționată este:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referințe

1. Canavos, G. 1988. Probabilitate și statistică: aplicații și metode. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și știință. 8-a. Ediție. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schaum: Probabilitate. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria probabilității. Editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitatea și statisticile pentru inginerie și științe. Pearson.
6. Wikipedia. Probabilitate condițională. Recuperat de la: es.wikipedia.org.