UNDELE UNIDIMENSIONALE: EXPRESIE MATEMATICĂ ȘI EXEMPLE - FIZIC - 2025

O- valuri dimensionale sunt cele care se propagă într -o singură direcție, indiferent dacă are loc vibrația în aceeași direcție de propagare sau nu. Un bun exemplu în acest sens este valul care călătorește printr-o coardă întinsă ca cea a unei chitare.

Într-o undă plană transversală, particulele vibrează în direcție verticală (ele se ridică și se încadrează, vezi săgeata roșie din figura 1), dar este unidimensională, deoarece perturbația călătorește într-o singură direcție, urmând săgeata galbenă.

Figura 1: Imaginea reprezintă o undă unidimensională. Rețineți că crestele și văile formează linii paralele între ele și perpendiculare pe direcția de propagare. Sursa: creată de sine.

Undele unidimensionale apar destul de des în viața de zi cu zi. În secțiunea următoare sunt descrise câteva exemple ale acestora, precum și ale undelor care nu sunt unidimensionale, pentru a stabili clar diferențele.

Exemple de unde unidimensionale și unde non-dimensionale

Undele unidimensionale

Iată câteva exemple de unde unidimensionale care pot fi observate cu ușurință:

- un impuls sonor care circulă printr-o bară dreaptă, deoarece este o perturbare care se răspândește pe întreaga lungime a barei.

- Un val care călătorește printr-un canal de apă, chiar și atunci când deplasarea suprafeței apei nu este paralelă cu canalul.

- Undele care se propagă pe o suprafață sau printr-un spațiu tridimensional pot fi, de asemenea, unidimensionale, atât timp cât fronturile lor de undă sunt plane paralele între ele și se deplasează într-o singură direcție.

Undele unidimensionale

Un exemplu de undă unidimensională se găsește în valurile care se formează pe o suprafață de apă nemișcată atunci când este aruncată o piatră. Este o undă bidimensională cu o undă cilindrică.

Figura 2. Imaginea reprezintă un exemplu de ceea ce o undă unidimensional NU ESTE. Rețineți că crestele și văile formează cercuri și direcția de propagare este radială spre exterior, este apoi o undă circulară bidimensională. Sursa: Pixabay.

Un alt exemplu de undă non-dimensională este unda sonoră pe care o creează un petard explozând la o anumită înălțime. Acesta este un val tridimensional cu fronturi de unde sferice.

Expresia matematică a unei unde unidimensionale

Cel mai general mod de a exprima o undă unidimensională care se propagă fără atenuare în direcția pozitivă a axei xy cu viteza v este, matematic:

În această expresie y reprezintă perturbarea la poziția x în momentul t. Forma undei este dată de funcția f. De exemplu, funcția de undă prezentată în figura 1 este: y (x, t) = cos (x - vt), iar imaginea de undă corespunde momentului t = 0.

O undă ca aceasta, descrisă de o funcție cosinusă sau sinusoidală, se numește undă armonică. Deși nu este singura formă de undă care există, este de maximă importanță, deoarece orice altă undă poate fi reprezentată ca o superpoziție sau o sumă de unde armonice. Este binecunoscuta teoremă de Fourier, atât de utilizată pe scară largă pentru a descrie semnale de tot felul.

Când unda călătorește în direcția negativă a axei x, schimbați pur și simplu v în -v în argument, lăsând:

Figura 3 prezintă animarea unei unde care călătorește spre stânga: este o formă numită funcția Lorentziană și expresia sa matematică este:

În acest exemplu viteza de propagare este v = 1, o singură unitate de spațiu pentru fiecare unitate de timp-.

Figura 3. Exemplu de undă lorentziană care se deplasează spre stânga cu viteza v = 1. Sursa: Pregătit de F. Zapata cu Geogebra.

Ecuația undelor unidimensionale

Ecuația de undă este o ecuație derivată parțială, a cărei soluție este desigur o undă. Stabilește relația matematică dintre partea spațială și partea temporală a acesteia și are forma:

Exemplu lucrat

Următoarea este expresia generală y (x, t) pentru o undă armonică:

a) Descrieți sensul fizic al parametrilor A, k, ω și θo.

b) Ce semnificație au semnele ± în argumentul cosinus?

c) Verificați dacă expresia dată este într-adevăr soluția ecuației de undă a secțiunii anterioare și găsiți viteza v de propagare.

Solutie la)

Caracteristicile undei se găsesc în următorii parametri:

A doua derivată în raport cu t: ∂ ² și / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Aceste rezultate sunt înlocuite în ecuația de undă:

Atât A, cât și cosinusul sunt simplificate, deoarece apar pe ambele părți ale egalității, iar argumentul cosinului este același, prin urmare, expresia se reduce la:

Care permite obținerea unei ecuații pentru v în termeni de ω și k:

Referințe

1. E-educativ. Ecuația undelor armonice unidimensionale. Recuperat din: e-ducativa.catedu.es
2. Colțul fizicii. Cursuri de valuri. Recuperat de la: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Valuri și fizică cuantică. Serie: fizică pentru știință și inginerie. Editat de Douglas Figueroa. Universitatea Simon Bolivar Caracas Venezuela.
4. Laborator de fizică. Recuperat de la: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Prelegerea 21: Ecuația valurilor unidimensionale: Soluția lui D'Alembert. Recuperat de la: ubc.ca.
6. Ecuația valurilor. Recuperat din: en.wikipedia.com