NUMERE IRAȚIONALE: ISTORIC, PROPRIETĂȚI, CLASIFICARE, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele iraționale sunt cele ale căror expresie are cifre zecimale infinite fără un model care se repetă, de aceea, nu poate fi obținut din raportul dintre oricare două numere întregi.

Printre cele mai cunoscute numere iraționale se numără:

Figura 1. De sus în jos următoarele numere iraționale: pi, numărul lui Euler, raportul de aur și două rădăcini pătrate. Sursa: Pixabay.

Dintre ele, fără îndoială, π (pi) este cel mai cunoscut, dar există multe altele. Toate aparțin setului de numere reale, care este setul numeric care grupează numere raționale și iraționale.

Elipsele din figura 1 indică faptul că zecimale continuă la nesfârșit, ceea ce se întâmplă este că spațiul calculatoarelor obișnuite permite doar afișarea câtorva.

Dacă privim cu atenție, de fiecare dată când facem coeficientul între două numere întregi, obținem o zecimală cu cifre limitate sau dacă nu, cu cifre infinite în care se repetă una sau mai multe. Ei bine, acest lucru nu se întâmplă cu numere iraționale.

Istoricul numerelor iraționale

Marele matematician antic Pitagora, născut în 582 î.Hr. la Samos, Grecia, a fondat școala de gândire pitagoreană și a descoperit celebra teoremă care îi poartă numele. O avem aici în stânga (poate babilonienii o știau cu mult înainte).

Figura 2. Teorema pitagoreică aplicată unui triunghi cu laturile egale cu 1. Sursa: Pixabay / Wikimedia Commons.

Ei bine, când Pitagora (sau probabil un discipol al său) a aplicat teorema pe un triunghi drept cu laturi egale cu 1, a găsit numărul irațional √2.

El a făcut-o astfel:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Și și-a dat seama imediat că acest nou număr nu provine din coeficientul dintre alte două numere naturale, care erau cele cunoscute la acea vreme.

Prin urmare, el a numit-o irațional, iar descoperirea a provocat o mare anxietate și dezinvoltură în rândul pitagoreilor.

Proprietăți ale numerelor iraționale

-Cele mulțimea tuturor numerelor iraționale sunt notate cu litera I și , uneori , ca Q * Q sau ^C . Uniunea dintre numerele iraționale I sau Q * și numerele raționale Q, dă naștere la mulțimea numerelor reale R.

-Cu numere iraționale, se pot efectua operațiunile aritmetice cunoscute: adunare, scădere, înmulțire, divizare, împuternicire și multe altele.

-Diviziunea cu 0 nu este definită nici între numere iraționale.

-Suma și produsul dintre numerele iraționale nu este neapărat un alt număr irațional. De exemplu:

√2 x √8 = √16 = 4

Și 4 nu este un număr irațional.

-De toate acestea, suma unui număr rațional plus un număr irațional dă un rezultat irațional. În acest fel:

1 + √2 = 2.41421356237 …

-Produsul unui număr rațional diferit de 0 cu un număr irațional este, de asemenea, irațional. Să ne uităm la acest exemplu:

2 x √2 = 2.828427125 …

-Inversul unei irationale are ca rezultat un alt număr irațional. Să încercăm câteva:

1 / √2 = 0,707106781 …

1 / √3 = 0,577350269 …

Aceste numere sunt interesante, deoarece sunt, de asemenea, valorile unor raporturi trigonometrice de unghiuri cunoscute. Majoritatea raporturilor trigonometrice sunt numere iraționale, dar există excepții, cum ar fi păcatul 30º = 0,5 = ½, care este rațional.

-În sumă sunt îndeplinite proprietățile comutative și asociative. Dacă a și b sunt două numere iraționale, aceasta înseamnă că:

a + b = b + a.

Și dacă c este un alt număr irațional, atunci:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Proprietatea distributivă a înmulțirii în ceea ce privește adăugarea este o altă proprietate binecunoscută care este valabilă și pentru numere iraționale. În acest caz:

a. (b + c) = ab + ac

-O irationala a are contrariul ei: -a. Când sunt adăugate împreună, rezultatul este 0:

a + (- a) = 0

-Între două raționale diferite, există cel puțin un număr irațional.

Locația unui număr irațional pe linia reală

Linia reală este o linie orizontală în care sunt localizate numerele reale, din care numerele iraționale sunt o parte importantă.

Pentru a găsi un număr irațional pe linia reală, în formă geometrică, putem folosi teorema lui Pitagore, un conducător și o busolă.

Ca exemplu, vom localiza √5 pe linia reală, pentru care desenăm un triunghi drept cu laturile x = 2 și y = 1, așa cum se arată în figură:

Figura 3. Metoda de a localiza un număr irațional pe linia reală. Sursa: F. Zapata.

Prin teorema lui Pitagore, ipotenuza unui astfel de triunghi este:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Acum busola este plasată cu punctul la 0, unde este și unul dintre vârfurile triunghiului drept. Punctul creionului busolei trebuie să fie la vârful A.

Este trasat un arc de circumferință care se taie la linia reală. Deoarece distanța dintre centrul circumferinței și orice punct de pe ea este raza, care este egală cu √5, punctul de intersecție este, de asemenea, departe √5 de centru.

Din grafic se poate observa că √5 este cuprins între 2 și 2,5. Un calculator ne oferă valoarea aproximativă a:

√5 = 2.236068

Astfel, construind un triunghi cu laturile corespunzătoare, pot fi localizate și altele iraționale, cum ar fi √7 și altele.

Clasificarea numerelor iraționale

Numerele iraționale sunt clasificate în două grupuri:

-Algebric

-Transcendental sau transcendental

Numere algebrice

Numerele algebice, care pot fi sau nu iraționale, sunt soluții ale ecuațiilor polinomiale a căror formă generală este:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₁ x + a _o = 0

Un exemplu de ecuație polinomială este o ecuație patratică ca aceasta:

x ³ - 2x = 0

Este ușor de arătat că numărul irațional √2 este una dintre soluțiile acestei ecuații.

Numere transcendente

Pe de altă parte, numerele transcendente, deși sunt iraționale, nu apar niciodată ca soluție la o ecuație polinomială.

Numerele transcendente găsite cel mai frecvent în matematica aplicată sunt π, datorită relației sale cu circumferința și numărul e, sau numărul lui Euler, care este baza logaritmelor naturale.

Exercițiu

Un pătrat gri este plasat pe un pătrat negru în poziția indicată în figură. Zona de pătrat negru este cunoscut a fi de 64 cm ² . Cât sunt lungimile ambelor pătrate?

Figura 4. Două pătrate, dintre care dorim să găsim lungimea laturilor. Sursa: F. Zapata.

Răspuns

Suprafața unui pătrat cu latura L este:

A = L ²

Deoarece patratul negru este de 64 cm ² în zona, partea sa trebuie sa fie de 8 cm.

Această măsurare este aceeași cu diagonala pătratului gri. Aplicând teorema lui Pitagore pe această diagonală și amintind că laturile unui pătrat măsoară la fel, vom avea:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Unde L _g este partea pătratului gri.

Prin urmare: 2L _g ² = 8 ²

Aplicarea rădăcinii pătrate pe ambele părți ale egalității:

L _g = (8 / √2) cm

Referințe

1. Carena, M. 2019. Manual de matematică preuniversitară. Universitatea Națională din Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 9. Gradul. Ediții CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
4. Portalul educațional. Numerele iraționale și proprietățile lor. Recuperat de la: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Numere irationale. Recuperat de la: es.wikipedia.org.