NUMERE COMPUSE: CARACTERISTICI, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele compuși sunt acele numere întregi care au mai mult de două separatoare. Dacă privim îndeaproape, toate numerele sunt cel puțin divizibile exact de la sine și de la 1. Cele care au doar acești doi divizori se numesc primele, iar cele care au mai multe sunt compuse.

Să ne uităm la numărul 2, care poate fi împărțit doar între 1 și 2. Numărul 3 are și doi divizori: 1 și 3. Prin urmare, sunt ambii primi. Acum să ne uităm la numărul 12, pe care îl putem împărți exact la 2, 3, 4, 6 și 12. Având 5 divizori, 12 este un număr compus.

Figura 1. Numerele prime în albastru pot fi reprezentate doar de un singur rând de puncte, nu de numere compuse în roșu. Sursa: Wikimedia Commons.

Și ce se întâmplă cu numărul 1, cel care îi împarte pe ceilalți? Ei bine, nu este primordial, deoarece nu are doi divizori și nu este compus, prin urmare 1 nu se încadrează în niciuna din aceste două categorii. Dar sunt multe, multe alte numere.

Numerele compuse pot fi exprimate ca produs al numerelor prime, iar acest produs, cu excepția ordinii factorilor, este unic pentru fiecare număr. Acest lucru este asigurat de teorema fundamentală a aritmeticii dovedită de matematicianul grec Euclid (325-365 î.Hr.).

Să revenim la numărul 12, pe care îl putem exprima în diferite moduri. Să încercăm câteva:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Formele evidențiate cu caractere aldine sunt produse cu numere prime și singurul lucru care se schimbă este ordinea factorilor, despre care știm că nu modifică produsul. Celelalte forme, deși sunt valabile pentru exprimarea 12, nu constau doar din prime.

Exemple de numere compuse

Dacă dorim să descompunem un număr compus în factorii primi, trebuie să îl împărțim între numere prime, astfel încât diviziunea să fie exactă, adică restul să fie 0.

Această procedură se numește factorizare primă sau descompunere canonică. Factorii primi pot fi ridicați la exponenți pozitivi.

Vom descompune numărul 570, menționând că acesta este egal și, prin urmare, divizibil cu 2, care este un număr prim.

Vom folosi o bară pentru a separa numărul din stânga de divizoarele din dreapta. Cotele respective sunt plasate sub numărul pe măsură ce sunt obținute. Descompunerea este completă când ultima figură din coloana din stânga este 1:

570 │2
285 │

Când se împarte cu 2, coeficientul este 285, care este divizibil cu 5, un alt număr prim, terminând în 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 este divizibil cu 3, de asemenea, prim, deoarece suma cifrelor sale 5 + 7 = 12 este un multiplu de 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

În sfârșit, obținem 19, care este un număr prim, ai cărui divizori sunt 19 și 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Obținând 1 putem exprima 570 în acest fel:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Și vedem că, de fapt, este produsul a 4 numere prime.

În acest exemplu, începem să împărțim la 2, dar aceiași factori (într-o altă ordine) ar fi fost obținuți dacă am începe prin divizarea cu 5, de exemplu.

Figura 2. Numărul compozit 42 poate fi, de asemenea, descompus folosind o diagramă în formă de copac. Sursa: Wikimedia Commons.

Criterii de divizibilitate

Pentru a descompune un număr compus în factorii săi primi, este necesar să îl împărțiți exact. Criteriile de divizibilitate între numere prime sunt reguli care permit să știe când un număr este divizibil cu altul exact, fără a fi nevoie să încercați sau să dovediți.

- Divizibilitatea cu 2

Toate numerele, cele care se termină cu 0 sau un număr egal sunt divizibile cu 2.

- Divizibilitatea cu 3

Dacă suma cifrelor unui număr este un multiplu de 3, atunci numărul este, de asemenea, divizibil cu 3.

- Divizibilitate cu 5

Numerele care se termină în 0 sau 5 sunt divizibile cu 5.

-Divizibilitatea cu 7

Un număr este divizibil cu 7 dacă, atunci când se separă ultima cifră, se înmulțește cu 2 și se scade numărul rămas, valoarea rezultată este un multiplu de 7.

Această regulă pare ceva mai complicată decât cele anterioare, dar în realitate nu este chiar atât de mult, așa că haideți să analizăm un exemplu: 98 va fi divizibil cu 7?

Să urmăm instrucțiunile: separăm ultima cifră care este 8, o înmulțim cu 2, ceea ce dă 16. Numărul care rămâne la separarea lui 8 este 9. Restăm 16 - 9 = 7. Și din moment ce 7 este multiplu de la sine, 98 este divizibil între 7.

-Divizibilitatea cu 11

Dacă suma cifrelor în poziție echitabilă (2, 4, 6 …) se scade din suma cifrelor în poziție impară (1, 3, 5, 7 …) și se obține 0 sau un multiplu de 11, numărul este divizibil cu 11.

Primii multipli din 11 sunt ușor de identificat: sunt 11, 22, 33, 44 … 99. Dar fii atent, 111 nu este, în schimb 110 este.

Ca exemplu, să vedem dacă 143 este un multiplu de 11.

Acest număr are 3 cifre, singura cifră este 4 (a doua), cele două cifre impare sunt 1 și 3 (prima și a treia), iar suma lor este de 4.

Ambele sume sunt scăzute: 4 - 4 = 0 și din moment ce se obține 0, se dovedește că 143 este un multiplu de 11.

-Divizibilitate de 13

Numărul fără cifrele respective trebuie scăzut de 9 ori. Dacă numărătoarea returnează 0 sau multiplu de 13, numărul este multiplu de 13.

Ca exemplu, vom verifica dacă 156 este un multiplu de 13. Cifrele acelea sunt 6 și numărul care rămâne fără el este 15. Înmulțim 6 x 9 = 54 și acum scădem 54 - 15 = 39.

Dar 39 este 3 x 13, deci 56 este un multiplu de 13.

Numere prime între ele

Două sau mai multe numere prime sau compuse pot fi prime sau co-prime. Aceasta înseamnă că singurul divizor comun pe care îl au este 1.

Există două proprietăți importante de reținut când vine vorba despre coprimi:

-Două, trei și mai multe numere consecutive sunt întotdeauna primele unul față de celălalt.

-Acelasi lucru se poate spune despre doua, trei sau mai multe numere impare consecutive.

De exemplu, 15, 16 și 17 sunt numere prime între ele, la fel și 15, 17 și 19.

Cum să știți câți divizori are un număr compus

Un număr prim are doi divizori, același număr și 1. Și câți divizori are un număr compus? Aceștia pot fi veri sau compuși.

Fie N un număr compus exprimat în termenii descompunerii canonice după cum urmează:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Când a, b, c … r sunt factorii primi și n, m, p … k exponenții respectivi. Ei bine, numărul de divizori C pe care N îl are este dat de:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) … (k + 1)

Cu C = divizori primi + divizori compuși + 1

De exemplu 570, care este exprimat astfel:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Toți factorii primi sunt crescuți la 1, prin urmare 570 are:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divizori

Dintre acești 10 divizori știm deja: 1, 2, 3, 5, 19 și 570. Mai lipsesc încă 10 divizori, care sunt numere compuse: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 și 285. Se găsesc prin observarea descompunerii în factori primi și, de asemenea, înmulțind combinațiile acestor factori împreună.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Se descompun următoarele numere în factori primi:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Solutie la

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Soluție b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Soluție c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Soluție d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Exercițiul 2

Aflați dacă următoarele numere sunt primele între ele:

6, 14, 9

Soluţie

-Divizorii 6 sunt: ​​1, 2, 3, 6

-Cât pentru 14, este divizibil după: 1, 2, 7, 14

-Final 9 are ca divizori: 1, 3, 9

Singurul divizor pe care îl au în comun este 1, prin urmare, sunt primari unul față de celălalt.

Referințe

1. Baldor, A. 1986. Aritmetica. Ediții și distribuții Codex.
2. lui byju. Numere prime și compuse. Recuperat din: byjus.com.
3. Numere prime și compuse. Recuperat de la: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Criterii de divizibilitate. Recuperat din: smartick.es.
5. Wikipedia. Numere compuse. Recuperat de la: en.wikipedia.org.