MIȘCAREA PENDULULUI: PENDUL SIMPLU, ARMONIC SIMPLU - FIZIC - 2025

Un pendul este un obiect (în mod ideal, o masă punctuală) atârnat de un fir (ideal fără masă) dintr-un punct fix și care oscilează datorită forței gravitației, a acelei forțe invizibile misterioase care, printre altele, ține universul lipit.

Mișcarea pendulară este cea care are loc într-un obiect dintr-o parte în alta, atârnând de o fibră, cablu sau fir. Forțele care intervin în această mișcare sunt combinația dintre forța gravitației (verticală, spre centrul Pământului) și tensiunea firului (direcția firului).

Pendulul oscilează, care arată viteza și accelerația (wikipedia.org)

Este ceea ce fac ceasurile de pendul (de unde și numele acestuia) sau leagănele de joacă. Într-un pendul ideal mișcarea oscilatorie ar continua perpetuu. Pe de altă parte, într-un adevărat pendul, mișcarea se oprește după timp din cauza frecării cu aerul.

Gândirea la un pendul face inevitabilă evocarea imaginii ceasului pendulului, amintirea acelui ceas vechi și impunător din casa de țară a bunicilor. Sau poate povestea de groază a lui Edgar Allan Poe, The Well and the Pendulum, a cărei narațiune este inspirată de una dintre numeroasele metode de tortură folosite de Inchiziția spaniolă.

Adevărul este că diferitele tipuri de pendule au aplicații variate dincolo de măsurarea timpului, cum ar fi, de exemplu, determinarea accelerației gravitației într-un anumit loc și chiar demonstrarea rotirii Pământului așa cum a făcut fizicianul francez Jean Bernard Léon. Foucault.

Pendul Foucault. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).

Pendulul simplu și mișcarea vibratorie simplă armonică

Pendul simplu

Pendulul simplu, deși este un sistem ideal, permite efectuarea unei abordări teoretice a mișcării unui pendul.

Deși ecuațiile mișcării unui pendul simplu pot fi oarecum complexe, adevărul este că atunci când amplitudinea (A) sau deplasarea din poziția de echilibru a mișcării este mică, poate fi aproximată cu ecuațiile unei mișcări armonice simplu, care nu sunt prea complicate.

Mișcare armonică simplă

Mișcarea armonică simplă este o mișcare periodică, adică se repetă în timp. Mai mult, este o mișcare oscilatorie a cărei oscilație are loc în jurul unui punct de echilibru, adică un punct în care rezultatul net al sumei forțelor aplicate corpului este zero.

În acest fel, o caracteristică fundamentală a mișcării pendulului este perioada sa (T), care determină timpul necesar pentru realizarea unui ciclu complet (sau oscilație completă). Perioada unui pendul este determinată de următoarea expresie:

unde, l = lungimea pendulului; și, g = valoarea accelerației datorată gravitației.

O cantitate legată de perioadă este frecvența (f), care determină numărul de cicluri prin care pendulul trece într-o secundă. În acest fel, frecvența poate fi determinată din perioada cu următoarea expresie:

Dinamica mișcării pendulului

Forțele care intervin în mișcare sunt greutatea, sau ceea ce este același, forța de gravitație (P) și tensiunea firului (T). Combinarea acestor două forțe este ceea ce provoacă mișcarea.

În timp ce tensiunea este întotdeauna direcționată în direcția firului sau a frânghiei care unește masa cu punctul fix și, prin urmare, nu este necesar să o descompunem; greutatea este întotdeauna direcționată vertical spre centrul de masă al Pământului și, prin urmare, este necesar să o descompunem în componentele sale tangențiale și normale sau radiale.

Componenta tangențială a greutății P _t = mg sin θ, în timp ce componenta normală a greutății este P _N = mg cos θ. Această secundă este compensată cu tensiunea firului; Componenta tangențială a greutății, care acționează ca o forță de refacere, este, prin urmare, responsabilă pentru mișcare.

Deplasarea, viteza și accelerația

Deplasarea unei mișcări armonice simple și, prin urmare, a pendulului, este determinată de următoarea ecuație:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

unde ω = este viteza unghiulară de rotație; t = este timpul; și, θ ₀ = este faza inițială.

În acest fel, această ecuație ne permite să determinăm poziția pendulului în orice moment. În această privință, este interesant să evidențiem unele relații între unele dintre mărimile mișcării armonice simple.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

Pe de altă parte, formula care guvernează viteza pendulului în funcție de timp se obține derivând deplasarea în funcție de timp, astfel:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀ )

Procedând în același mod, se obține expresia accelerației în ceea ce privește timpul:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀ )

Viteza maximă și accelerația

Observând atât expresia vitezei, cât și accelerația, se pot aprecia unele aspecte interesante ale mișcării pendulului.

Viteza își ia valoarea maximă în poziția de echilibru, moment în care accelerația este zero, deoarece, așa cum s-a spus anterior, în acel moment forța netă este zero.

Dimpotrivă, la extremele deplasării apare opusul, acolo accelerația ia valoarea maximă, iar viteza ia o valoare nulă.

Din ecuațiile vitezei și accelerației este ușor de dedus atât modulul de viteză maximă, cât și modulul de accelerație maximă. Este suficient să luați valoarea maximă posibilă atât pentru păcat (ω t + θ ₀ ) cât și cos (ω t + θ ₀ ), care în ambele cazuri este 1.

│ v _max │ = A ω

│ a _max │ = A ω ²

Momentul în care pendulul atinge viteza maximă este când trece prin punctul de echilibru al forțelor de atunci păcatul (ω t + θ ₀ ) = 1. Dimpotrivă, accelerația maximă este atinsă la ambele capete ale mișcării de atunci cos (ω t + θ ₀ ) = 1

concluzie

Un pendul este un obiect ușor de proiectat și, aparent, cu o mișcare simplă, deși adevărul este că în profunzime este mult mai complex decât pare.

Cu toate acestea, când amplitudinea inițială este mică, mișcarea ei poate fi explicată cu ecuații care nu sunt excesiv de complicate, deoarece poate fi aproximată cu ecuațiile mișcării vibratorii armonice simple.

Diferitele tipuri de pendule care există au aplicații diferite atât pentru viața de zi cu zi, cât și în domeniul științific.

Referințe

1. Van Baak, Tom (noiembrie 2013). „O nouă și minunată ecuație a perioadei de pendul”. Buletin de științe orologice. 2013 (5): 22–30.
2. Pendulum. (Nd). În Wikipedia. Preluat pe 7 martie 2018, de pe en.wikipedia.org.
3. Pendul (matematica). (Nd). În Wikipedia. Preluat pe 7 martie 2018, de pe en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). Istoria Inchiziției Spaniei. Aviat și tradus de George B. Whittaker. Universitatea Oxford. pp. XX, prefață.
5. Poe, Edgar Allan (1842). Groapa și Pendulul. Booklassic. ISBN 9635271905.