MODELUL ATOMIC AL LUI DIRAC JORDAN: CARACTERISTICI ȘI POSTULATE - FIZIC - 2025

Modelul atomic Dirac-Iordania este generalizarea relativistă a operatorului hamiltonian în ecuația care descrie funcția de undă cuantică a electronului. Spre deosebire de modelul precedent, cel al lui Schrodinger, nu este necesar să se impună rotirea prin principiul excluderii Pauli, deoarece apare în mod natural.

În plus, modelul Dirac-Jordan încorporează corecții relativiste, interacțiunea spin-orbita și termenul Darwin, care reprezintă structura fină a nivelurilor electronice ale atomului.

Figura 1. Orbitale electronice în atomul de hidrogen pentru primele trei niveluri de energie. Sursa: Wikimedia Commons.

Începând cu 1928, oamenii de știință Paul AM Dirac (1902-1984) și Pascual Jordan (1902-1980) au început să generalizeze mecanica cuantică dezvoltată de Schrodinger, pentru a include corecțiile relative ale relativității speciale ale lui Einstein.

Dirac pornește de la ecuația Schrodinger, care constă dintr-un operator diferențial, numit hamiltonian, care operează pe o funcție cunoscută sub denumirea de undă electronică. Cu toate acestea, Schrodinger nu a ținut cont de efectele relativiste.

Soluțiile funcției de undă ne permit să calculăm regiunile în care cu un anumit grad de probabilitate electronul va fi găsit în jurul nucleului. Aceste regiuni sau zone sunt numite orbitale și depind de anumite numere cuantice discrete, care definesc energia și momentul unghiular al electronului.

postulate

În teoriile mecanice cuantice, relativiste sau nu, nu există un concept de orbite, deoarece nici poziția și nici viteza electronului nu pot fi specificate simultan. Mai mult, specificarea uneia dintre variabile duce la imprecizie totală în cealaltă.

La rândul său, hamiltonianul este un operator matematic care acționează asupra funcției undei cuantice și este construit din energia electronului. De exemplu, un electron liber are energie totală E care depinde de momentul său liniar p astfel:

E = ( p ² ) / 2m

Pentru a construi hamiltonianul, pornim de la această expresie și substitut p pentru operatorul cuantic pentru impuls:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Este important de remarcat faptul că p și p termeni sunt diferite, din moment ce primul este impuls , iar celălalt este operatorul diferențial asociat cu impuls.

În plus, i este unitatea imaginară și h constanta Planck împărțită la 2π, în acest fel operatorul hamiltonian H al electronului liber se obține:

H = (h ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Pentru a găsi hamiltonianul electronului în atom, adăugați interacțiunea electronului cu nucleul:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

În expresia anterioară -e este sarcina electrică a electronului și Φ (r) potențialul electrostatic produs de nucleul central.

Acum, operatorul H acționează asupra funcției de undă ψ în conformitate cu ecuația Schrodinger, care este scrisă astfel:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Cele patru postulate ale lui Dirac

Primul postulat : ecuația de undă relativistă are aceeași structură ca ecuația de undă Schrodinger, ceea ce se schimbă este H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Al doilea postulat : operatorul hamiltonian este construit pornind de la relația energie-moment a lui Einstein, care este scris după cum urmează:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

În relația anterioară, dacă particula are moment p = 0, atunci avem faimoasa ecuație E = mc ² care raportează energia în repaus a oricărei particule de masă m cu viteza luminii c.

Al treilea postulat : pentru a obține operatorul Hamiltonian, se utilizează aceeași regulă de cuantificare folosită în ecuația Schrodinger:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

La început, nu a fost clar cum să se ocupe de acest operator diferențial care acționează într-o rădăcină pătrată, așa că Dirac și-a propus să obțină un operator Hamiltonian liniar pe operatorul de moment și de acolo a apărut cel de-al patrulea postulat.

Al patrulea postulat : pentru a scăpa de rădăcina pătrată din formula energetică relativistă, Dirac a propus următoarea structură pentru E ² :

Desigur, este necesar să se determine coeficienții alfa (α0, α1, α2, α3) pentru ca acest lucru să fie adevărat.

Ecuația lui Dirac

În forma sa compactă, ecuația Dirac este considerată una dintre cele mai frumoase ecuații matematice din lume:

Figura 2. Ecuația Dirac în formă compactă. Sursa: F. Zapata.

Și atunci devine clar că alfa constantă nu poate fi cantități scalare. Singurul mod în care egalitatea celui de-al patrulea postulat este îndeplinită este faptul că acestea sunt constante 4 × 4 matrici, care sunt cunoscute sub numele de matrici Dirac:

Observăm imediat că funcția de undă încetează să mai fie o funcție scalară și devine un vector cu patru componente numite spinor:

Atomul Dirac-Iordania

Pentru a obține modelul atomic este necesar să trecem de la ecuația electronului liber la cel al electronului din câmpul electromagnetic produs de nucleul atomic. Această interacțiune este luată în considerare prin încorporarea potențialului scalar Φ și a potențialului vectorial A în hamiltonian:

Funcția de undă (spinor) care rezultă din încorporarea acestui hamiltonian are următoarele caracteristici:

- Îndeplinește relativitatea specială, deoarece ține cont de energia intrinsecă a electronului (primul termen al relativistului hamiltonian)

- Are patru soluții corespunzătoare celor patru componente ale spinorului

- Primele două soluții corespund una de rotire + ½ și cealaltă de rotire - ½

- În cele din urmă, celelalte două soluții prezic existența antimateriei, întrucât corespund cele ale pozitronilor cu rotiri opuse.

Marele avantaj al ecuației Dirac este că corecțiile la baza de Schrodinger Hamiltonian H (o) pot fi defalcate în mai mulți termeni pe care îi vom arăta mai jos:

În expresia anterioară V este potențialul scalar, deoarece potențialul vectorial A este zero dacă se presupune că protonul central este staționar și, prin urmare, nu apare.

Motivul pentru care corecțiile Dirac la soluțiile Schrodinger în funcția de undă sunt subtile. Ele provin din faptul că ultimii trei termeni ai Hamiltonianului corectat sunt împărțiți la viteza c a luminii pătrate, un număr imens, ceea ce face ca acești termeni să fie numeric mici.

Corecții relativistice la spectrul energetic

Folosind ecuația Dirac-Iordania găsim corecții la spectrul energetic al electronului în atomul de hidrogen. Corecțiile pentru energie în atomi cu mai mult de un electron în formă aproximativă se găsesc și printr-o metodologie cunoscută sub numele de teoria perturbării.

În mod similar, modelul Dirac ne permite să găsim corecția fină a structurii la nivelul energiei hidrogenului.

Cu toate acestea, corecții și mai subtile, cum ar fi structura hiperfină și schimbarea Lamb sunt obținute din modele mai avansate, cum ar fi teoria cuantică a câmpurilor, care s-a născut tocmai din contribuțiile modelului Dirac.

Figura următoare arată cum arată corecțiile relativiste ale lui Dirac la nivelurile de energie:

Figura 3. Corecțiile modelului Dirac la nivelurile atomului de hidrogen. Sursa: Wikimedia Commons.

De exemplu, soluțiile la ecuația Dirac prezic corect o schimbare observată la nivelul 2s. Este binecunoscuta corecție a structurii fine în linia Lyman-alfa a spectrului de hidrogen (vezi figura 3).

Apropo, structura fină este numele dat în fizica atomică pentru dublarea liniilor spectrului de emisii de atomi, ceea ce este o consecință directă a spinului electronic.

Figura 4. Structura fină împărțită pentru starea la sol n = 1 și prima stare excitată n = 2 în atomul de hidrogen. Sursa: R Wirnata. Corecții relativistice la atomii de hidrogen. Researchgate.net

Articole de interes

Model atomic De Broglie.

Modelul atomic al lui Chadwick.

Model atomic Heisenberg.

Modelul atomic al lui Perrin.

Modelul atomic al lui Thomson.

Modelul atomic al lui Dalton.

Modelul atomic al lui Schrödinger.

Modelul atomic al lui Democrit.

Modelul atomic al lui Bohr.

Referințe

1. Teoria atomică. Recuperat de la wikipedia.org.
2. Moment magnetic cu electroni. Recuperat de la wikipedia.org.
3. Quanta: un manual de concepte. (1974). Presa Universitatii Oxford. Recuperat de Wikipedia.org.
4. Model atomic Dirac Jordan. Recuperat de pe prezi.com.
5. Noul Univers cuantic. Presa universitară din Cambridge. Recuperat de Wikipedia.org.