METODA LUI EULER: PENTRU CE ESTE, PROCEDURĂ ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Metoda Euler este cea mai simplă și simplă procedură utilizată pentru a găsi soluții numerice aproximative la o ecuație diferențială obișnuită de primul ordin, cu condiția să fie cunoscută condiția inițială.

O ecuație diferențială obișnuită (ODE) este ecuația care se referă la o funcție necunoscută a unei singure variabile independente cu derivatele sale.

Aproximări succesive prin metoda lui Euler. Sursa: Oleg Alexandrov

Dacă cea mai mare derivată care apare în ecuație este de gradul unu, atunci este o ecuație diferențială obișnuită de primul grad.

Cel mai general mod de a scrie o ecuație de gradul I este:

x = x ₀

y = y ₀

Care este metoda lui Euler?

Ideea metodei lui Euler este de a găsi o soluție numerică la ecuația diferențială în intervalul dintre X ₀ și X _f .

În primul rând, intervalul este discretizat în n + 1 puncte:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Care se obțin astfel:
x _i = x ₀ + ih

Unde h este lățimea sau pasul subintervalelor:

Cu condiția inițială, atunci este posibilă cunoașterea derivatului la început:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Această derivată reprezintă panta liniei tangente la curba funcției y (x) exact la punctul:

Ao = (x _o , y _o )

Atunci se face o predicție aproximativă a valorii funcției y (x) la următorul punct:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Apoi a fost obținut următorul punct aproximativ al soluției, care ar corespunde:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Procedura se repetă pentru a obține punctele succesive

A ₂ , A ₃ …, x _n

În figura prezentată la început, curba albastră reprezintă soluția exactă a ecuației diferențiale, iar cea roșie reprezintă punctele aproximative succesive obținute prin procedura Euler.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

I ) Să fie ecuația diferențială:

Cu condiția inițială x = a = 0; iar _a = 1

Folosind metoda lui Euler, obțineți o soluție aproximativă de y la coordonata X = b = 0,5, împărțind intervalul în n = 5 părți.

Soluţie

Rezultatele numerice sunt rezumate după cum urmează:

Din care se concluzionează că soluția Y pentru valoarea 0,5 este 1.4851.

Notă: Smath Studio, un program gratuit pentru utilizare gratuită, a fost utilizat pentru a efectua calculele.

Exercițiul 2

II ) Continuând ecuația diferențială din exercițiul I), găsiți soluția exactă și comparați-o cu rezultatul obținut prin metoda lui Euler. Găsiți eroarea sau diferența dintre rezultatul exact și aproximativ.

Soluţie

Soluția exactă nu este foarte greu de găsit. Derivația funcției sin (x) este cunoscută a fi funcția cos (x). Prin urmare, soluția y (x) va fi:

y (x) = sin x + C

Pentru ca condiția inițială să fie îndeplinită și (0) = 1, constanta C trebuie să fie egală cu 1. Rezultatul exact este apoi comparat cu cea aproximativă:

Se concluzionează că, în intervalul calculat, aproximarea are trei cifre semnificative de precizie.

Exercițiul 3

III ) Luați în considerare ecuația diferențială și condițiile sale inițiale date mai jos:

y '(x) = - y ²

Cu condiția inițială x ₀ = 0; și ₀ = 1

Utilizați metoda lui Euler pentru a găsi valori aproximative ale soluției y (x) pe intervalul x =. Folosiți pasul h = 0,1.

Soluţie

Metoda Euler este foarte potrivită pentru utilizarea cu o foaie de calcul. În acest caz vom folosi foaia de calcul geogebra, un program gratuit și open-source.

Foaia de calcul din figură prezintă trei coloane (A, B, C), prima este variabila x, a doua coloană reprezintă variabila y, iar a treia coloană este derivata y '.

Rândul 2 conține valorile inițiale ale lui X, Y, Y '.

Etapa valorică 0.1 a fost plasată în celula de poziție absolută ($ D $ 4).

Valoarea inițială a y0 este în celula B2, și y1 în celula B3. Pentru a calcula y ₁ se utilizează formula:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Această formulă de calcul ar fi numărul B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

În mod similar y2 ar fi în celula B4 și formula sa este prezentată în figura următoare:

Figura arată, de asemenea, graficul soluției exacte, și punctele A, B,…, P ale soluției aproximative prin metoda lui Euler.

Dinamica newtoniană și metoda lui Euler

Dinamica clasică a fost dezvoltată de Isaac Newton (1643 - 1727). Motivația inițială a lui Leonard Euler (1707 - 1783) de a-și dezvolta metoda, a fost tocmai aceea de a rezolva ecuația celei de-a doua legi a lui Newton în diverse situații fizice.

A doua lege a lui Newton este de obicei exprimată ca o ecuație diferențială a celui de-al doilea grad:

Unde x reprezintă poziția unui obiect în momentul t. Obiectul menționat are o masă m și este supus unei forțe F. Funcția f este legată de forță și masă astfel:

Pentru a aplica metoda lui Euler, valorile inițiale ale timpului t, viteza v și poziția x sunt necesare.

Următorul tabel explică cum pornind de la valorile inițiale t1, v1, x1, se poate obține o aproximare a vitezei v2 și a poziției x2, la momentul t2 = t1 + Δt, unde Δt reprezintă o creștere mică și corespunde pasului din metoda de Euler.

Exercițiul 4

IV ) Una dintre problemele fundamentale în mecanică este aceea a unui bloc de masă M legat de un arc (sau arc) de constantă elastică K.

A doua lege a lui Newton pentru această problemă ar arăta astfel:

În acest exemplu, pentru simplitate vom lua M = 1 și K = 1. Găsiți soluții aproximative pentru poziția x și viteza v prin metoda lui Euler pe intervalul de timp împărțind intervalul în 12 părți.

Luăm 0 ca instantaneu inițial, viteza inițială 0 și poziția inițială 1.

Soluţie

Rezultatele numerice sunt prezentate în următorul tabel:

De asemenea, sunt afișate graficele poziției și vitezei între 0 și 1,44.

Exerciții propuse pentru acasă

Exercitiul 1

Utilizați o foaie de calcul pentru a determina o soluție aproximativă folosind metoda lui Euler pentru ecuația diferențială:

y '= - Exp (-y) cu condițiile inițiale x = 0, y = -1 în intervalul x =

Începeți cu un pas 0.1. Tramați rezultatul.

Exercițiul 2

Folosind o foaie de calcul, găsiți soluții numerice pentru următoarea ecuație cuadratică, unde y este o funcție a variabilei independente t.

y '' = - 1 / y² cu condiția inițială t = 0; și (0) = 0,5; y '(0) = 0

Găsiți soluția la interval folosind un pas de 0,05.

Diagramați rezultatul: y vs t; y 'vs t

Referințe

1. Metoda Eurler preluată de la wikipedia.org
2. Solutie Euler. Preluat de pe en.smath.com