- Metoda celor mai mici pătrate
- Exerciții rezolvate
- Exercitiul 1
- Soluţie
- Exercițiul 2
- Pentru ce este?
- Referințe
Metoda celor mai mici pătrate este una dintre cele mai importante aplicații în aproximarea funcțiilor. Ideea este de a găsi o curbă astfel încât, având în vedere un set de perechi ordonate, această funcție să se apropie cel mai bine de date. Funcția poate fi o linie, o curbă pătratică, una cubică etc.
Ideea metodei constă în minimizarea sumei pătratelor dintre diferențele din ordonată (componenta Y), între punctele generate de funcția aleasă și punctele aparținând setului de date.
Metoda celor mai mici pătrate
Înainte de a da metoda, trebuie mai întâi să fim clar ce înseamnă „o abordare mai bună”. Să presupunem că căutăm o linie y = b + mx care să reprezinte cel mai bine un set de n puncte, și anume {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}.
După cum se arată în figura precedentă, dacă variabilele x și y ar fi legate de linia y = b + mx, atunci pentru x = x1 valoarea corespunzătoare a y ar fi b + mx1. Cu toate acestea, această valoare este diferită de valoarea adevărată a y, care este y = y1.
Nu uitați că în avion, distanța dintre două puncte este dată de următoarea formulă:
Având în vedere acest lucru, pentru a determina modul de alegere a liniei y = b + mx care se apropie cel mai bine datelor date, pare logic să utilizăm ca criteriu selecția liniei care să minimizeze suma pătratelor distanțelor dintre puncte. și drept.
Deoarece distanța dintre punctele (x1, y1) și (x1, b + mx1) este y1- (b + mx1), problema noastră se reduce la găsirea numerelor m și b astfel încât următoarea sumă să fie minimă:
Linia care îndeplinește această condiție este cunoscută sub denumirea de „aproximarea liniei celor mai puțin pătrate la punctele (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Odată ce problema este obținută, rămâne doar să alegeți o metodă care să găsească aproximația celor mai puțin pătrate. Dacă punctele (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) sunt toate pe linia y = mx + b, am avea ca ele să fie colineare y:
În această expresie:
În cele din urmă, dacă punctele nu sunt colineare, atunci y-Au = 0 și problema poate fi tradusă în găsirea unui vector u astfel încât norma euclidiană să fie minimă.
Găsirea vectorului minimizant u nu este atât de dificilă pe cât ai putea crede. Deoarece A este o matrice nx2 și u este o matrice 2 × 1, avem faptul că vectorul Au este un vector în R n și aparține imaginii A, care este un subspațiu al lui R n cu o dimensiune nu mai mare de două.
Vom presupune că n = 3 pentru a arăta care este procedura de urmat. Dacă n = 3, imaginea lui A va fi un plan sau o linie prin origine.
Fie v vectorul minimizator. În figura observăm că y-Au este minimizată atunci când este ortogonală cu imaginea lui A. Adică, dacă v este vectorul minimizator, atunci se întâmplă că:
Apoi, putem exprima cele menționate în acest fel:
Acest lucru se poate întâmpla numai dacă:
În cele din urmă, rezolvarea pentru v, avem:
Este posibil să faceți acest lucru deoarece A t A este invertibilă atâta timp cât n punctele date ca date nu sunt colineare.
Acum, dacă în loc să căutăm o linie, am fi dorit să găsim o parabolă (a cărei expresie ar fi de forma y = a + bx + cx 2 ) care ar fi o mai bună aproximare la n punctele de date, procedura ar fi cea descrisă mai jos.
Dacă n punctele de date ar fi în această parabolă, am avea:
Apoi:
În mod similar putem scrie y = Au. Dacă toate punctele nu sunt în parabolă, avem că y-Au este diferit de zero pentru orice vector u și problema noastră este din nou: găsiți un vector u în R3 astfel încât norma sa --y-Au-- să fie cât mai mică. .
Repetând procedura anterioară, putem ajunge la faptul că vectorul căutat este:
Exerciții rezolvate
Exercitiul 1
Găsiți linia care se potrivește cel mai bine punctelor (1,4), (-2,5), (3, -1) și (4,1).
Soluţie
Noi trebuie sa:
Apoi:
Prin urmare, concluzionăm că linia care se potrivește cel mai bine punctelor este dată de:
Exercițiul 2
Să presupunem că un obiect este căzut de la o înălțime de 200 m. Pe măsură ce se încadrează, se fac următorii pași:
Știm că înălțimea obiectului menționat, după trecerea unui timp t, este dată de:
Dacă dorim să obținem valoarea g, putem găsi o parabolă care este o mai bună aproximare la cele cinci puncte date în tabel și, astfel, am avea că coeficientul care însoțește t 2 va fi o aproximare rezonabilă la (-1/2) g dacă măsurătorile sunt corecte.
Noi trebuie sa:
Și mai târziu:
Deci punctele de date sunt potrivite de următoarea expresie cuadratică:
Deci, trebuie să:
Aceasta este o valoare care este rezonabil de corectă, care este g = 9,81 m / s 2 . Pentru a obține o aproximare mai exactă a g, ar fi necesar să pornim de la observații mai precise.
Pentru ce este?
În problemele care apar în științele naturale sau sociale, este convenabil să se scrie relațiile care există între diferite variabile prin intermediul unor expresii matematice.
De exemplu, în economie, putem raporta costul (C), venitul (I) și profiturile (U) printr-o formulă simplă:
În fizică, putem relaționa accelerația cauzată de gravitație, timpul în care un obiect a scăzut și înălțimea obiectului prin lege:
În expresia anterioară s o este înălțimea inițială a respectivului obiect, iar v o este viteza inițială.
Totuși, găsirea unor formule ca acestea nu este o sarcină ușoară; De obicei, profesionistului este de serviciu să lucreze cu o mulțime de date și să efectueze în mod repetat mai multe experimente (pentru a verifica dacă rezultatele obținute sunt constante) să găsească relații între diferitele date.
O modalitate comună de a realiza acest lucru este de a reprezenta datele obținute într-un plan ca puncte și de a căuta o funcție continuă care să se apropie optim de acele puncte.
Unul dintre modurile de a găsi funcția care „apropie cel mai bine” datele date este prin metoda celor mai puțin pătrate.
În plus, așa cum am văzut și în exercițiu, datorită acestei metode putem obține aproximări destul de apropiate de constantele fizice.
Referințe
- Charles W Curtis Algebra liniară. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Teoria elementară a probabilității cu procese stocastice. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden și J.Douglas Faires. Analiză numerică (7ed). Învățare Thompson
- Stanley I. Grossman. Aplicații ale Algebrei liniare. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Algebră liniară. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO