MODULUL YOUNG: CALCUL, APLICAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Modulul Young sau modulului elastic este constanta referitoare tracțiune sau comprimare cu creșterea respectivă sau descreșterea lungimii având ca obiect sub aceste forțe.

Forțele externe aplicate obiectelor nu pot doar să își schimbe starea de mișcare, dar sunt, de asemenea, capabile să își schimbe forma sau chiar să le rupă sau să le fractureze.

Figura 1. Mișcările pisicii sunt pline de elasticitate și grație. Sursa: Pixabay.

Modulul Young este utilizat pentru a studia schimbările produse într-un material atunci când o forță de tracțiune sau de compresie este aplicată extern. Este foarte util la subiecte precum inginerie sau arhitectură.

Modelul își datorează numele savantului britanic Thomas Young (1773-1829), care a fost cel care a efectuat studii materiale propunând o măsură a rigidității diferitelor materiale.

Care este modelul lui Young?

Modelul lui Young este o măsură de rigiditate. În materialele cu rigiditate redusă (roșu), există o mai mare deformare sub o extensie sau sarcină de compresie. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Cât poate fi deformat un obiect? Este ceva pe care inginerii doresc adesea să știe. Răspunsul va depinde de proprietățile materialului și de dimensiunile pe care le are.

De exemplu, puteți compara două bare din aluminiu cu dimensiuni diferite. Fiecare are o zonă și o lungime transversală diferite și ambele sunt supuse aceleiași forțe de tracțiune.

Comportamentul scontat va fi următorul:

- Cu cât grosimea (secțiunea transversală) a barei este mai mare, cu atât este mai mică întinderea.

- Cu cât lungimea inițială este mai mare, cu atât este mai mare întinderea finală.

Acest lucru are sens, pentru că, până la urmă, experiența arată că a încerca să deformeze o bandă de cauciuc nu este același lucru cu încercarea de a o face cu o tijă de oțel.

Un parametru numit modulul de elasticitate al materialului este o indicație a răspunsului său elastic.

Cum se calculează?

Fiind medic, Young a dorit să cunoască rolul elasticității arterelor în buna performanță a circulației sângelui. Din experiențele sale a încheiat următoarea relație empirică:

Este posibilă reprezentarea grafică a comportamentului unui material sub aplicarea stresului, așa cum se arată în figura următoare.

Figura 2. Graficul tensiunii versus efortul pentru un material. Sursa: realizată de sine.

De la origine la punctul A

În prima secțiune, care merge de la origine la punctul A, graficul este o linie dreaptă. Legea lui Hooke este valabilă acolo:

F = kx

În cazul în care F este magnitudinea forței care readuce materialul la starea sa inițială, x este deformarea experimentată de acesta și k este o constantă care depinde de obiectul supus stresului.

Deformațiile luate în considerare aici sunt mici, iar comportamentul este perfect elastic.

De la A la B

De la A la B, materialul se comportă și elastic, dar relația dintre stres și încordare nu mai este liniară.

De la B la C

Între punctele B și C, materialul suferă o deformare permanentă, neputând reveni la starea inițială.

De la C

Dacă materialul continuă să se întindă din punctul C, se va rupe în cele din urmă.

Matematic, observațiile lui Young pot fi rezumate după cum urmează:

Stresul ∝ Strain

În cazul în care constanta de proporționalitate este exact modulul de elasticitate a materialului:

Stresul = Modulul Elasticității x Deformarea

Există multe modalități de deformare a materialelor. Cele mai frecvente trei tipuri de stres la care este supus un obiect sunt:

- Tensiune sau întindere.

- Compresia.

- Tăiați sau tăiați.

Unul dintre stresul la care sunt supuse materialele, de exemplu în construcții civile sau piese auto, este tracțiunea.

Formulele

Atunci când un obiect de lungime L este întins sau tensionat, acesta este supus unei trageri care provoacă o variație a lungimii sale. O diagramă a acestei situații este reprezentată în figura 3.

Acest lucru necesită ca o forță de magnitudine F să fie aplicată pe unitatea de suprafață la capetele sale, pentru a provoca întinderea, astfel încât noua sa lungime devine L + DL.

Efortul depus pentru deformarea obiectului va fi doar această forță pe unitatea de suprafață, în timp ce tulpina experimentată este ΔL / L.

Figura 3. Un obiect supus tracțiunii sau întinderii, are o alungire. Sursa: realizată de sine.

Denumind modulul lui Young ca Y și conform celor de mai sus:

Răspunsul constă în faptul că tulpina indică tulpina relativă în raport cu lungimea inițială. Nu este la fel ca o bară de 1 m se întinde sau se micșorează cu 1 cm, deoarece o structură lungă de 100 de metri este la fel de deformată cu 1 cm.

Pentru buna funcționare a pieselor și structurilor, există o toleranță în ceea ce privește deformările relative admise.

Ecuația pentru calcularea deformării

Dacă ecuația de mai sus este analizată după cum urmează:

- Cu cât suprafața transversală este mai mare, cu atât deformarea este mai mică.

- Cu cât lungimea este mai mare, cu atât deformarea este mai mare.

- Cu cât modulul lui Young este mai mare, cu atât deformarea este mai mică.

Unitățile de tensiune corespund unor noi tone / metru pătrat (N / m ² ). De asemenea, sunt unitățile de presiune, care în Sistemul Internațional poartă numele de Pascal. În schimb, tulpina ΔL / L nu are dimensiuni, deoarece este coeficientul dintre două lungimi.

Unitățile sistemului englez sunt lb / în ² și sunt, de asemenea, utilizate foarte frecvent. Factorul de conversie pentru a merge de la unul la altul este: 14.7 lb / în ² = 1.01325 x 10 ⁵ Pa

Acest lucru duce la modulul lui Young având și unități de presiune. În cele din urmă, ecuația de mai sus poate fi exprimată pentru a rezolva pentru Y:

În știința materialelor, răspunsul elastic al acestora la diferite eforturi este important pentru a selecta cele mai potrivite pentru fiecare aplicație, indiferent dacă este fabricarea unei aripi a avionului sau a unui rulment auto. Caracteristicile materialului care va fi utilizat sunt decisive în răspunsul așteptat de acesta.

Pentru a alege cel mai bun material, este necesar să cunoaștem tensiunile la care va fi supusă o anumită piesă; și, în consecință, selectați materialul care are cele mai multe proprietăți în conformitate cu proiectarea.

De exemplu, aripa unui avion trebuie să fie puternică, ușoară și capabilă să se flexeze. Materialele utilizate la construcția clădirilor trebuie să reziste în mare măsură mișcărilor seismice, dar trebuie să aibă și o anumită flexibilitate.

Inginerii care proiectează aripi de avion și, de asemenea, cei care aleg materialele de construcție, trebuie să utilizeze grafice de eforturi, precum cele prezentate în figura 2.

Măsurătorile pentru a determina cele mai relevante proprietăți elastice ale unui material pot fi efectuate în laboratoare specializate. Astfel, există teste standardizate la care sunt supuse eșantioanele, la care se aplică diverse solicitări și apoi se măsoară deformările rezultate.

Exemple

După cum am menționat mai sus, Y nu depinde de mărimea sau forma obiectului, ci de caracteristicile materialului.

O altă notă foarte importantă: pentru ca ecuația dată mai sus să fie aplicabilă, materialul trebuie să fie izotrop, adică, proprietățile sale trebuie să rămână neschimbate pe tot parcursul.

Nu toate materialele sunt izotrope: există cele al căror răspuns elastic depinde de anumiți parametri direcționali.

Deformația analizată în segmentele anterioare este doar una dintre numeroasele la care poate fi supus un material. De exemplu, în ceea ce privește stresul compresiv, este opusul stresului la tracțiune.

Ecuațiile date se aplică ambelor cazuri, iar valorile lui Y sunt aproape întotdeauna aceleași (materiale izotrope).

O excepție notabilă este betonul sau cimentul, care rezistă la compresiune mai bine decât la tracțiune. Prin urmare, trebuie consolidată atunci când este necesară rezistența la întindere. Oțelul este materialul indicat pentru că rezistă foarte bine la întindere sau tracțiune.

Exemple de structuri supuse stresului includ coloanele și arcadele de construcție, elemente de construcție clasice în multe civilizații antice și moderne.

Figura 4. Pont Julien, o construcție romană din 3 î.Hr., în sudul Franței.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Un fir de oțel lungime de 2,0 m într-un instrument muzical are o rază de 0,03 mm. Când cablul este sub o tensiune de 90 N: cât de mult se schimbă lungimea sa? Date: modulul Young de oțel este de 200 x 10 ⁹ N / m ²

Soluţie

Este necesar să se calculeze aria secțiunii transversale A = πR ² = π. (0,03 x ^10-3 m) ² = 2,83 x 10 ^-9 m ²

Stresul este stresul pe unitate de suprafață:

Deoarece șirul este sub tensiune, asta înseamnă că se prelungește.

Lungimea nouă este L = L _o + DL, unde L _o este lungimea inițială:

L = 2,32 m

Exercițiul 2

O coloană de marmură, a cărei suprafață transversală este de 2,0 m ^2, suportă o masă de 25.000 kg. Găsi:

a) Efortul la nivelul coloanei vertebrale.

b) Tulpina.

c) Cât de scurtă este coloana dacă înălțimea ei este de 12 m?

Soluţie

a) Efortul din coloană se datorează greutății de 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245,000 N

Prin urmare, efortul este:

b) Tulpina este ΔL / L:

c) ΔL este variația lungimii, dată de:

ΔL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Coloana de marmură nu se așteaptă să scadă semnificativ. Rețineți că, deși modulul lui Young este mai mic în marmură decât în ​​oțel și că coloana susține și o forță mult mai mare, lungimea sa aproape că nu variază.

Pe de altă parte, în frânghia exemplului precedent, variația este mult mai apreciabilă, deși oțelul are un modul Young mult mai mare.

Zona sa mare a secțiunii transversale intervine în coloană și, prin urmare, este mult mai puțin deformabilă.

Despre Thomas Young

Portretul lui 1822 al lui Thomas Young. Thomas Lawrence / Domeniu public

Modulul de elasticitate poartă numele de Thomas Young (1773-1829), un om de știință britanic versatil, care a adus contribuții mari la știință în multe domenii.

În calitate de fizician, Young nu numai că a studiat natura valurilor luminii, dezvăluită de celebrul experiment cu dublă fanta, dar a fost și medic, lingvist și chiar a ajutat să descifreze o parte din hieroglifele egiptene pe celebra piatră Rosetta.

A fost membru al Royal Society, al Academiei Regale Suedeze de Științe, al Academiei Americane de Arte și Științe sau al Academiei Franceze de Științe, printre alte instituții științifice nobile.

Cu toate acestea, trebuie menționat că conceptul modelului a fost dezvoltat anterior de Leonhar Euler (1707-1873) și că oameni de știință precum Giordano Riccati (1709-1790) au efectuat deja un experiment care ar fi pus în practică modelul lui Young. .

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fizică: Principii cu aplicații. Ediția a șasea. Sala Prentice. 238-249.