LEGILE LUI KEPLER: EXPLICAȚIE, EXERCIȚII, EXPERIMENT - FIZIC - 2025

Kepler e legile mișcării planetelor au fost făcute de astronomul german Johannes Kepler (1571-1630). Kepler le-a dedus pe baza activității profesorului său astronomul danez Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe a compilat cu atenție datele mișcărilor planetare pe parcursul a peste 20 de ani, cu o precizie și o acuratețe surprinzătoare, considerând că la momentul respectiv telescopul nu a fost încă inventat. Valabilitatea datelor dvs. rămâne valabilă și astăzi.

Figura 1. Orbitele planetelor conform legilor lui Kepler. Sursa: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Cele 3 legi ale lui Kepler

Legile lui Kepler afirmă:

-Prima lege : toate planetele descriu orbite eliptice cu Soarele într-unul dintre focare.

Acest lucru înseamnă că raportul T ² / r ³ este același pentru toate planetele, ceea ce face posibilă calcularea razei orbitale, dacă este cunoscută perioada orbitală.

Când T este exprimat în ani și r în unități astronomice AU *, constanta de proporționalitate este k = 1:

* O unitate astronomică este egală cu 150 de milioane de kilometri, care este distanța medie între Pământ și Soare. Perioada orbitală a Pământului este de 1 an.

Legea gravitației universale și a treia lege a lui Kepler

Legea universală a gravitației prevede că mărimea forței gravitaționale de atracție între două obiecte ale maselor M și respectiv m, ale căror centre sunt separate de o distanță r, este dată de:

G este constanta universală a gravitației și valoarea sa este G = 6.674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ² .

Acum, orbitele planetelor sunt eliptice cu o excentricitate foarte mică.

Aceasta înseamnă că orbita nu este foarte departe de o circumferință, cu excepția unor cazuri, cum ar fi planeta pitică Pluto. Dacă aproximăm orbitele la forma circulară, accelerația mișcării planetei este:

Deoarece F = ma, avem:

Aici v este viteza liniară a planetei în jurul Soarelui, asumată statică și a masei M, în timp ce cea a planetei este m. Asa de:

Acest lucru explică faptul că planetele mai îndepărtate de Soare au o viteză orbitală mai mică, deoarece aceasta depinde de 1 / √r.

Deoarece distanța pe care o parcurge planeta este aproximativ lungimea circumferinței: L = 2πr și durează un timp egal cu T, perioada orbitală, obținem:

Echivalarea ambelor expresii pentru v oferă o expresie valabilă pentru T ² , pătratul perioadei orbitale:

Și tocmai aceasta a treia lege a lui Kepler, deoarece în această expresie paranteze 4π ² / GM este constantă, T ² este proporțională cu distanța r puterea a treia.

Ecuația definitivă pentru perioada orbitală se obține luând rădăcina pătrată:

Figura 3. Afelie și perihelion. Sursa: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Domeniu public

Prin urmare, înlocuim r pentru o în a treia lege a lui Kepler, care rezultă pentru Halley în:

Soluție b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Experiment

Analiza mișcării planetelor necesită săptămâni, luni și chiar ani de observare și înregistrare atentă. Dar în laborator, un experiment de scară foarte simplă poate fi efectuat pentru a demonstra că legea lui Kepler în domenii egale ține.

Aceasta necesită un sistem fizic în care forța care guvernează mișcarea să fie centrală, o condiție suficientă pentru ca legea zonelor să fie îndeplinită. Un astfel de sistem este format dintr-o masă legată de o frânghie lungă, cu celălalt capăt al firului fixat pe un suport.

Masa este deplasată un unghi mic din poziția sa de echilibru și este dată un ușor impuls, astfel încât să execute o mișcare ovală (aproape eliptică) în planul orizontal, ca și cum ar fi o planetă din jurul Soarelui.

Pe curba descrisă de pendul, putem dovedi că mătura zone egale în timp egal, dacă:

-Considerăm razele vectoriale care pleacă de la centrul de atracție (punctul inițial de echilibru) până la poziția masei.

-Și vom muta între două instante consecutive de durată egală, în două zone diferite ale mișcării.

Cu cât șirul pendulului este mai lung și cu cât unghiul este mai mic față de verticală, forța de restabilire netă va fi mai orizontală, iar simularea seamănă cu cazul mișcării cu forța centrală într-un plan.

Apoi, ovalul descris se apropie de o elipsă, cum ar fi cea care călătorește planetele.

materiale

-Armă nesensibilă

-1 masă sau bilă metalică vopsită în alb, care acționează ca un bob de pendul

-Rigla

-Conveyor

-Cameră foto cu disc stroboscop automat

-Suporta

-Doua surse de iluminat

-O foaie de hârtie neagră sau carton

Proces

Asamblarea figurii este necesară pentru a face fotografii cu mai multe licăriri ale pendulului, în timp ce urmează calea acesteia. Pentru aceasta trebuie să așezați camera chiar deasupra pendulului și a discului stroboscop automat în fața obiectivului.

Figura 4. Asamblarea pendulului pentru a verifica dacă mătura suprafețe egale în timp egal. Sursa: Ghid de laborator PSSC.

În acest fel, imaginile sunt obținute la intervale de timp regulate ale pendulului, de exemplu la fiecare 0,1 sau la fiecare 0,2 secunde, ceea ce ne permite să cunoaștem timpul necesar pentru a trece de la un punct la altul.

De asemenea, trebuie să iluminați în mod corespunzător masa pendulului, punând luminile pe ambele părți. Lintea trebuie vopsită în alb pentru a îmbunătăți contrastul pe fundal, care constă dintr-o hârtie neagră întinsă pe pământ.

Acum trebuie să verificați dacă pendulul mătura zone egale în timp egal. Pentru a face acest lucru, este ales un interval de timp și punctele ocupate de pendul în acel interval sunt marcate pe hârtie.

O imagine este desenată pe imagine de la centrul ovalului în aceste puncte și astfel vom avea prima dintre zonele măturate de pendul, care este aproximativ un sector eliptic precum cel prezentat mai jos:

Figura 5. Zona unui sector eliptic. Sursa: F. Zapata.

Calcularea ariei secțiunii eliptice

Cu ajutorul prelungitorului, se măsoară unghiurile θ _o și θ ₁ , iar această formulă este utilizată pentru a găsi S, aria sectorului eliptic:

Cu F (θ) dat de:

Rețineți că a și b sunt semi-axele majore și, respectiv, minore. Cititorul trebuie să se îngrijoreze doar cu privire la măsurarea cu atenție a semi-axelor și a unghiurilor, deoarece există calculatoare online pentru a evalua cu ușurință această expresie.

Totuși, dacă insistați să faceți calculul manual, amintiți-vă că unghiul θ este măsurat în grade, dar când introduceți datele în calculator, valorile trebuie exprimate în radiani.

Apoi, trebuie să marcați o altă pereche de puncte în care pendulul a inversat același interval de timp și să desenați zona corespunzătoare, calculându-i valoarea cu aceeași procedură.

Verificarea legii suprafețelor egale

În cele din urmă, rămâne să verifice dacă legea suprafețelor este respectată, adică zonele egale sunt măturate în timpuri egale.

Rezultatele deviază puțin de la ceea ce se aștepta? Trebuie să se țină cont întotdeauna că toate măsurările sunt însoțite de eroarea lor experimentală.

Referințe

1. Calculator online Keisan. Zona unui calculator de sector eliptic. Recuperat de la: keisan.casio.com.
2. Openstax. Legea lui Kepler a mișcării planetare. Recuperat de la: openstax.org.
3. PSSC. Fizică de laborator. Editorial Reverté. Recuperat din: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomie. Serie Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Sistem simplu cu forță centrală. Recuperat de la: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, cele trei legi ale mișcării planetare ale lui D. Kepler. Recuperat de la: phy6.org.