EVENIMENTE INDEPENDENTE: DEMONSTRAȚIE, EXEMPLE, EXERCIȚII - DUDAS - 2025

Două evenimente sunt independente , când probabilitatea ca unul dintre ele să nu fie influențat de faptul că celălalt apare - sau nu are loc -, considerând că aceste evenimente se produc la întâmplare.

Această circumstanță apare ori de câte ori procesul care generează rezultatul evenimentului 1, nu modifică în niciun fel probabilitatea rezultatelor posibile ale evenimentului 2. Dar dacă acest lucru nu se întâmplă, se spune că evenimentele sunt dependente.

Figura 1. Marmurile colorate sunt frecvent utilizate pentru a explica probabilitatea evenimentelor independente. Sursa: Pixabay.

O situație de eveniment independent este următoarea: Să presupunem că două zaruri pe șase fețe sunt rulate, unul albastru și celălalt roz. Probabilitatea ca un 1 să se rostogolească pe matrița albastră este independent de probabilitatea ca un 1 să se rostogolească - sau nu să se rostogolească pe matrița roz.

Un alt caz al două evenimente independente este acela de a arunca o monedă de două ori la rând. Rezultatul primei aruncări nu va depinde de rezultatul celei de-a doua și invers.

Dovada a două evenimente independente

Pentru a verifica dacă două evenimente sunt independente, vom defini conceptul de probabilitate condițională a unui eveniment în raport cu altul. Pentru aceasta, este necesar să se diferențieze între evenimente exclusive și evenimente incluzive:

Două evenimente sunt exclusive dacă valorile sau elementele posibile ale evenimentului A nu au nimic în comun cu valorile sau elementele evenimentului B.

Prin urmare, în două evenimente exclusive, mulțimea intersecției lui A cu B este vidul:

Excluzând evenimentele: A∩B = Ø

Dimpotrivă, dacă evenimentele sunt inclusive, se poate întâmpla ca un rezultat al evenimentului A să coincidă și cu cel al altui B, A și B fiind evenimente diferite. În acest caz:

Evenimente incluzive: A∩B ≠ Ø

Aceasta ne determină să definim probabilitatea condițională a două evenimente incluzive, cu alte cuvinte, probabilitatea apariției evenimentului A, de fiecare dată când apare evenimentul B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Prin urmare, probabilitatea condițională este probabilitatea ca A și B să apară divizate de probabilitatea că va apărea B. Probabilitatea ca B să apară condiționat de A poate fi definită și:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Criterii pentru a ști dacă două evenimente sunt independente

În continuare vom oferi trei criterii pentru a ști dacă două evenimente sunt independente. Este suficient ca unul dintre cei trei să se împlinească, pentru ca independența evenimentelor să fie demonstrată.

1.- Dacă probabilitatea ca A să apară ori de câte ori apare B este egală cu probabilitatea A, atunci acestea sunt evenimente independente:

P (A¦B) = P (A) => A este independent de B

2.- Dacă probabilitatea ca B să fie dată cu A, este egală cu probabilitatea B, atunci există evenimente independente:

P (B¦A) = P (B) => B este independent de A

3.- Dacă probabilitatea ca A și B să aibă loc este egală cu produsul probabilității că apare A și probabilitatea ca B să apară, atunci acestea sunt evenimente independente. De asemenea, conversația este adevărată.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A și B sunt evenimente independente.

Exemple de evenimente independente

Sunt comparate tălpile de cauciuc produse de doi furnizori diferiți. Probele de la fiecare producător sunt supuse mai multor teste din care se concluzionează dacă sunt sau nu în specificații.

Figura 2. Varietatea tălpilor de cauciuc. Sursa: Pixabay.

Rezumatul rezultat al celor 252 de probe este următorul:

Producător 1; 160 îndeplinesc specificațiile; 8 nu corespund specificațiilor.

Producător 2; 80 îndeplinesc specificațiile; 4 nu corespund specificațiilor.

Eveniment A: „că eșantionul este de la producătorul 1”.

Eveniment B: „faptul că eșantionul respectă specificațiile.”

Doriți să știți dacă aceste evenimente A și B sunt independente sau nu, pentru care aplicăm unul dintre cele trei criterii menționate în secțiunea anterioară.

Criteriul: P (B¦A) = P (B) => B este independent de A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

Concluzie: Evenimentele A și B sunt independente.

Să presupunem că evenimentul C: „eșantionul provine de la producătorul 2”

Evenimentul B va fi independent de evenimentul C?

Aplicăm unul dintre criterii.

Criteriul: P (B¦C) = P (B) => B este independent de C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

Prin urmare, pe baza datelor disponibile, probabilitatea ca o talpă de cauciuc aleasă la întâmplare să îndeplinească specificațiile este independentă de producător.

Convertiți un eveniment independent într-un eveniment dependent

Să ne uităm la următorul exemplu pentru a distinge între evenimentele dependente și cele independente.

Avem o pungă cu două bile de ciocolată albă și două bile negre. Probabilitatea de a obține o bilă albă sau o minge neagră este egală la prima încercare.

Să presupunem că rezultatul a fost o minge. Dacă bila desenată este înlocuită în geantă, situația inițială se repetă: două bile albe și două bile negre.

Așadar, într-un al doilea eveniment sau o remiză, șansele de a desena o minge sau o minge neagră sunt identice cu prima dată. Prin urmare, sunt evenimente independente.

Însă dacă mingea cue desenată în primul eveniment nu este înlocuită pentru că am mâncat-o, în a doua remiză există șanse mai mari de a desena o minge neagră. Probabilitatea ca o a doua extracție să obțină din nou alb este diferită de cea a primului eveniment și este condiționată de rezultatul anterior.

Exerciții

- Exercitiul 1

Într-o cutie punem cele 10 marmură din figura 1, dintre care 2 sunt verzi, 4 sunt albastre și 4 sunt albe. Două marmură vor fi alese la întâmplare, una întâi și una mai târziu. Se cere să găsească
probabilitatea ca niciunul dintre ele să nu fie albastru, în următoarele condiții:

a) Cu înlocuirea, adică returnarea primei marmuri înainte de a doua selecție la cutie. Indicați dacă sunt evenimente independente sau dependente.

b) Fără înlocuire, în așa fel încât prima marmură extrasă să fie lăsată în afara cutiei atunci când se face a doua selecție. În mod similar, indicați dacă acestea sunt evenimente dependente sau independente.

Solutie la

Calculăm probabilitatea ca prima marmură extrasă să nu fie albastră, ceea ce este 1 minus probabilitatea ca acesta să fie albastru P (A) sau direct să nu fie albastru, deoarece a ieșit verde sau alb:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nu fi albastru) = 1 - (2/5) = 3/5

O bine:

P (verde sau alb) = 6/10 = 3/5.

Dacă marmura extrasă este returnată, totul este ca înainte. În această a doua remiză există și o probabilitate de 3/5 ca marmura desenată să nu fie albastră.

P (nu albastru, nu albastru) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Evenimentele sunt independente, deoarece marmura extrasă a fost returnată în cutie, iar primul eveniment nu influențează probabilitatea apariției celui de-al doilea.

Soluție b

Pentru prima extracție, procedați ca în secțiunea anterioară. Probabilitatea ca acesta să nu fie albastru este de 3/5.

Pentru a doua extracție avem 9 baghete în geantă, întrucât prima nu s-a întors, dar nu era albastră, prin urmare în geantă sunt 9 marmură și 5 nu albastre:

P (verde sau alb) = 5/9.

P (nimic nu este albastru) = P (primul nu este albastru). P (al doilea nu albastru / primul nu albastru) = (3/5). (5/9) = 1/3

În acest caz, acestea nu sunt evenimente independente, deoarece primul eveniment condiționează al doilea.

- Exercițiul 2

Un magazin are 15 cămăși în trei dimensiuni: 3 mici, 6 medii și 6 mari. 2 cămașe sunt selectate la întâmplare.

a) Care este probabilitatea ca ambele cămăși selectate să fie mici, dacă una este luată mai întâi și fără a o înlocui pe alta în lot?

b) Care este probabilitatea ca ambele cămăși selectate să fie mici, dacă una este desenată prima, să fie înlocuită în lot, iar cea de-a doua este îndepărtată?

Solutie la

Iată două evenimente:

Eveniment A: prima cămașă selectată este mică

Eveniment B: a doua cămașă selectată este mică

Probabilitatea ca evenimentul A să apară este: P (A) = 3/15

Probabilitatea ca evenimentul B să apară este: P (B) = 2/14, deoarece o cămașă a fost deja scoasă (rămân 14), dar și evenimentul A dorește să fie împlinit, prima cămașă scoasă trebuie să fie mică și, prin urmare, ambele sunt 2 mici.

Adică, probabilitatea ca A și B să fie produsul probabilităților este:

P (A și B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Prin urmare, probabilitatea ca evenimentul A și B să fie egal cu produsul în care se produce evenimentul A, ori de probabilitatea ca evenimentul B să apară dacă evenimentul A.

Trebuie menționat că:

P (B¦A) = 2/14

Probabilitatea ca evenimentul B să apară indiferent dacă evenimentul A apare sau nu va fi:

P (B) = (2/14) dacă primul a fost mic, sau P (B) = 3/14 dacă primul nu a fost mic.

În general, se pot încheia următoarele:

P (B¦A) nu este egal cu P (B) => B nu este independent de A

Soluție b

Din nou, există două evenimente:

Eveniment A: prima cămașă selectată este mică

Eveniment B: a doua cămașă selectată este mică

P (A) = 3/15

Nu uitați că, indiferent de rezultat, cămașa extrasă din lot este înlocuită și, din nou, o cămașă este desenată la întâmplare. Probabilitatea ca evenimentul B să apară, dacă a avut loc evenimentul A este:

P (B¦A) = 3/15

Probabilitatea ca evenimentele A și B să fie:

P (A și B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Rețineți că:

P (B¦A) este egal cu P (B) => B este independent de A.

- Exercițiul 3

Luați în considerare două evenimente independente A și B. Se știe că probabilitatea ca evenimentul A să apară este 0,2 și probabilitatea ca evenimentul B să fie 0,3. Care este probabilitatea ca ambele evenimente să aibă loc?

Soluția 2

Știind că evenimentele sunt independente, se știe că probabilitatea ca ambele evenimente să se producă este produsul probabilităților individuale. Adică:

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Rețineți că este o probabilitate mult mai mică decât probabilitatea ca fiecare eveniment să aibă loc indiferent de rezultatul celuilalt. Sau altfel, mult mai mic decât cotele individuale.

Referințe

1. Berenson, M. 1985. Statistici pentru management și economie. Interamericana SA 126-127.
2. Institutul Monterrey. Probabilitatea evenimentelor independente. Recuperat de la: monterreyinstitute.org
3. Profesor de matematica. Evenimente independente. Recuperat de pe: youtube.com
4. Superprof. Tipuri de evenimente, evenimente dependente. Recuperat din: superprof.es
5. Tutor virtual. Probabilitate. Recuperat de la: vitutor.net
6. Wikipedia. Independență (probabilitate). Recuperat de la: wikipedia.com