AȘTEPTAREA MATEMATICĂ: FORMULĂ, PROPRIETĂȚI, EXEMPLE, EXERCIȚIU - DUDAS - 2025

Speranța matematică sau valoarea așteptată a variabila aleatoare X, este notat ca E (X) și este definită ca suma produsului dintre probabilitatea unui eveniment aleatoriu care apar și valoarea evenimentului menționat.

În formă matematică se exprimă astfel:

Figura 1. Așteptările matematice sunt utilizate pe scară largă pe piața de valori și în asigurări. Sursa: Pixabay.

Unde x _i este valoarea evenimentului și P (x _i ) probabilitatea sa de apariție. Sumarea se extinde asupra tuturor valorilor pe care X le admite. Și dacă acestea sunt finite, suma indicată converg la valoarea E (X), dar dacă suma nu converg, atunci variabila pur și simplu nu are o valoare așteptată.

Când este o variabilă continuă x, variabila poate avea valori infinite, iar elementele integrale înlocuiesc însumările:

Aici f (x) reprezintă funcția de densitate a probabilității.

În general, așteptarea matematică (care este o medie ponderată) nu este egală cu media sau media aritmetică, decât dacă avem de-a face cu distribuții discrete în care fiecare eveniment este la fel de probabil. Apoi, și numai atunci:

Unde n este numărul de valori posibile.

Conceptul este foarte util pe piețele financiare și în companiile de asigurări, unde adesea lipsesc certitudini, dar există probabilități.

Proprietățile așteptării matematice

Printre cele mai importante proprietăți ale așteptării matematice, se evidențiază următoarele:

- Semn: dacă X este pozitiv, atunci E (X) va fi și pozitiv.

- Valoarea așteptată a unei constante : valoarea așteptată a unei constante reale k este constanta.

- Linearitate în sumă: așteptarea unei variabile aleatorii care este la rândul ei suma a două variabile X și Y este suma așteptărilor.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Înmulțirea cu o constantă : dacă variabila aleatoare este de forma kX, unde k este o constantă (un număr real), aceasta iese în afara valorii așteptate.

- Valoarea așteptată a produsului și independența dintre variabile : dacă o variabilă aleatorie este produsul variabilelor aleatoare X și Y, care sunt independente, atunci valoarea așteptată a produsului este produsul valorilor așteptate.

În general, dacă Y = g (X):

- Comanda în valoarea așteptată: dacă X ≤ Y, atunci:

Deoarece există valorile așteptate ale fiecăruia dintre ei.

Așteptarea matematică la pariuri

Când celebrul astronom Christian Huygens (1629-1695) nu a observat cerul, s-a dedicat studierii, printre alte discipline, a probabilității în jocurile de noroc. El a fost cel care a introdus conceptul de speranță matematică în lucrarea sa din 1656 intitulată: Raționamentul despre jocurile de noroc.

Figura 2. Christiaan Huygens (1629-1625) a fost un om de știință genial și versatil, căruia îi datorăm conceptul de valoare preconizată.

Huygens a constatat că pariurile pot fi clasificate în trei moduri, pe baza valorii preconizate:

-Jocuri cu avantaj: E (X)> 0

- Pariuri corecte: E (X) = 0

-Joc în dezavantaj: E (X) <0

Problema este că într-un joc de noroc așteptările matematice nu sunt întotdeauna ușor de calculat. Iar când poți, rezultatul este uneori dezamăgitor pentru cei care se întreabă dacă pariază sau nu.

Să încercăm un pariu simplu: capete sau cozi, iar cel care pierde o cafea de 1 dolar. Care este valoarea așteptată a acestui pariu?

Ei bine, probabilitatea ca un cap să fie rulat este ½, egal cu o coadă. Variabila aleatorie este de a câștiga $ 1 sau de a pierde $ 1, câștigul este notat de semnul + și pierderea de către semn -.

Organizăm informațiile într-un tabel:

Înmulțim valorile coloanelor: 1. ½ = ½ și (-1). ½ = -½ și în final se adaugă rezultatele. Suma este 0 și este un joc corect, în care participanții nu trebuie să câștige și să nu piardă.

Ruleta franceză și loteria sunt jocuri de handicap în care cei mai mulți pariori pierd. Mai târziu, există un pariu ceva mai complex în secțiunea de exerciții rezolvate.

Exemple

Iată câteva exemple simple în care conceptul de așteptare matematică este intuitiv și clarifică conceptul:

Exemplul 1

Vom începe prin rostogolirea unei matri cinstite. Care este valoarea preconizată a lansării? Ei bine, dacă matrița este cinstită și are 6 capete, probabilitatea ca orice valoare (X = 1, 2, 3 … 6) să se rostogolească este 1/6, astfel:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figura 3. În rolul unei matrițe cinstite, valoarea așteptată nu este o valoare posibilă. Sursa: Pixabay.

Valoarea așteptată în acest caz este egală cu media, deoarece fiecare față are aceeași probabilitate de a ieși. Dar E (X) nu este o valoare posibilă, deoarece niciun cap nu valorează 3,5. Acest lucru este perfect posibil în unele distribuții, deși în acest caz rezultatul nu ajută pariorul prea mult.

Să ne uităm la un alt exemplu cu aruncarea a două monede.

Exemplul 2

Două monede cinstite sunt aruncate în aer și definim variabila aleatoare X ca numărul de capete rulate. Evenimentele care pot apărea sunt următoarele:

-Niciun cap nu se ridică: 0 capete care este egal cu 2 cozi.

-Ie iese 1 cap și 1 ștampilă sau cruce.

-De două fețe ies.

Fie C un cap și T un sigiliu, spațiul de probă care descrie aceste evenimente este următorul:

S _m = {Sigiliu-Sigiliu; Etanșărilor; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Probabilitățile evenimentelor care se petrec sunt:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabelul este construit cu valorile obținute:

Conform definiției date la început, așteptarea matematică se calculează astfel:

Înlocuirea valorilor:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Acest rezultat este interpretat după cum urmează: dacă o persoană are suficient timp pentru a face un număr mare de experimente aruncând cele două monede, se așteaptă să capete fiecare capăt.

Cu toate acestea, știm că lansările cu 2 etichete sunt perfect posibile.

Exercițiu rezolvat

În aruncarea a două monede cinstite, se face următorul pariu: dacă vin 2 capete câștigi 3 dolari, dacă iese 1 cap câștigi 1 dolar, dar dacă apar două timbre trebuie să plătești 5 dolari. Calculați câștigul preconizat al pariului.

Figura 4. În funcție de pariu, așteptarea matematică se schimbă atunci când aruncați două monede oneste. Sursa: Pixabay.

Soluţie

Variabila aleatorie X reprezintă valorile pe care le ia banii în pariu și probabilitățile au fost calculate în exemplul precedent, prin urmare, tabelul pariului este:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Cum valoarea așteptată este 0, acesta este un joc corect, așa că aici pariul este de așteptat să nu câștige și să nu piardă nici unul. Cu toate acestea, sumele pariului pot fi modificate pentru a face pariu un joc cu handicap sau un joc cu handicap.

Referințe

1. Brase, C. 2009. Statistici inteligibile. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Introducere în conceptul de valoare preconizată sau așteptarea matematică a unei variabile aleatorii. Recuperat din: personal.us.es.
3. Statistici LibreTexts. Valoarea preconizată a variabilelor aleatorii discrete. Recuperat din: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Statistici elementare. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitate și statistici pentru știință și inginerie. 8-a. Ediție. Pearson Education.