Distribuția binomială este o distribuție a probabilității prin care se calculează probabilitatea apariției evenimentelor, cu condiția ca acestea să apară sub două modalități: succesul sau eșecul.
Aceste denumiri (succes sau eșec) sunt complet arbitrare, întrucât nu înseamnă neapărat lucruri bune sau rele. În acest articol vom indica forma matematică a distribuției binomiale și apoi se va explica în detaliu sensul fiecărui termen.
Figura 1. Ruloul unei matrițe este un fenomen care poate fi modelat folosind distribuția binomială. Sursa: Pixabay.
Ecuaţie
Ecuația este următoarea:
Cu x = 0, 1, 2, 3 … .n, unde:
- P (x) este probabilitatea de a avea exact x succese între n încercări sau încercări.
- x este variabila care descrie fenomenul de interes, corespunzător numărului de succese.
- n numărul încercărilor
- p este probabilitatea succesului în 1 încercare
- q este probabilitatea eșecului în 1 încercare, prin urmare q = 1 - p
Semnul de exclamație "!" este utilizat pentru notația factorială, deci:
0! = 1
unu! = 1
Două! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Si asa mai departe.
Concept
Distribuția binomială este foarte potrivită pentru descrierea situațiilor în care un eveniment are loc sau nu are loc. Dacă apare, este un succes și dacă nu, atunci este un eșec. În plus, probabilitatea succesului trebuie să rămână întotdeauna constantă.
Există fenomene care se potrivesc acestor condiții, de exemplu aruncarea unei monede. În acest caz, putem spune că „succesul” capătă o față. Probabilitatea este ½ și nu se schimbă, indiferent de câte ori este aruncată moneda.
Ruloul unei matrițe cinstite este un alt exemplu bun, precum și clasificarea unei anumite producții în bucăți bune și piese defecte și se înroșesc în loc de negru când se învârte o roată de ruletă.
caracteristici
Putem rezuma caracteristicile distribuției binomiale după cum urmează:
- Orice eveniment sau observație este extras dintr-o populație infinită fără înlocuire sau dintr-o populație finită cu înlocuire.
- Doar două opțiuni sunt luate în considerare, care se exclud reciproc: succesul sau eșecul, așa cum este explicat la început.
- Probabilitatea succesului trebuie să fie constantă în orice observație care se face.
- Rezultatul oricărui eveniment este independent de orice alt eveniment.
- Media distribuției binomiale este np
- Abaterea standard este:
Exemplu de aplicare
Haideți să facem un eveniment simplu, care poate obține 2 capete 5 rulând o matriță cinstită de 3 ori. Care este probabilitatea ca în 3 aruncări să se obțină 2 capete din 5?
Există mai multe modalități de a realiza acest lucru, de exemplu:
- Primele două lansări sunt 5, iar ultima nu.
- Primul și ultimul sunt 5, dar nu cel de mijloc.
- Ultimele două aruncări sunt 5 și primele nu.
Să luăm prima secvență descrisă ca exemplu și să calculăm probabilitatea ei de apariție. Probabilitatea de a obține 5 capete pe primul rol este de 1/6 și, de asemenea, pe a doua, deoarece sunt evenimente independente.
Probabilitatea de a obține un alt cap, altul decât 5, la ultimul rola este 1 - 1/6 = 5/6. Prin urmare, probabilitatea ca această secvență să apară este produsul probabilităților:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Cum rămâne cu celelalte două secvențe? Au aceeași probabilitate: 0,023.
Și având în total 3 secvențe reușite, probabilitatea totală va fi:
Exemplul 2
O universitate susține că 80% dintre studenții de la echipa de baschet colegiu absolvă. O investigație examinează recordul academic a 20 de studenți aparținând echipei de baschet menționate care s-au înscris în universitate cu ceva timp în urmă.
Dintre acești 20 de studenți, 11 și-au încheiat studiile și 9 au abandonat.
Figura 2. Aproape toți studenții care joacă pentru echipa de colegiu absolvent. Sursa: Pixabay.
Dacă afirmația universității este adevărată, numărul studenților care joacă baschet și absolvent, din 20, ar trebui să aibă o distribuție binomială cu n = 20 și p = 0,8. Care este probabilitatea ca 11 dintre cei 20 de jucători să finalizeze?
Soluţie
În distribuția binomială:
Exemplul 3
Cercetătorii au efectuat un studiu pentru a determina dacă există diferențe semnificative în ceea ce privește ratele de absolvire între studenții medicali admiși prin programe speciale și studenții medicali admiși prin criterii regulate de admitere.
Rata de absolvire a fost de 94% pentru medicii studenți admiși prin programe speciale (pe baza datelor din Jurnalul Asociației Medicale Americane).
Dacă 10 dintre studenții programelor speciale sunt selectați la întâmplare, găsiți probabilitatea ca cel puțin 9 dintre ei să fi absolvit.
b) Ar fi neobișnuit să selectați la întâmplare 10 studenți din programele speciale și să constatați că doar 7 dintre ei au absolvit?
Soluţie
Probabilitatea ca un student admis printr-un program special să absolve este 94/100 = 0,94. Alegem n = 10 studenți din programele speciale și dorim să aflăm probabilitatea ca cel puțin 9 dintre ei să finalizeze.
Următoarele valori sunt apoi înlocuite în distribuția binomială:
b)
Referințe
- Berenson, M. 1985. Statistici pentru management și economie. Interamericana SA
- MathWorks. Distribuție binomială. Recuperat de la: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistici pentru management și economie. 3a. ediție. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Statistici de bază aplicate. 2a. Ediție.
- Triola, M. 2012. Statistici elementare. 11. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Distribuție binomială. Recuperat de la: es.wikipedia.org