LINII OBLICE: CARACTERISTICI, ECUAȚII ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Liniile oblice sunt cele care sunt înclinate, fie în raport cu o suprafață plană, fie cu o altă linie care indică o anumită adresă. Ca exemplu, luăm în considerare cele trei linii trase într-un plan care apar în figura următoare.

Cunoaștem pozițiile lor relative, deoarece le comparăm cu o linie de referință, care este de obicei axa X care notează orizontală.

Figura 1. Liniile verticale, orizontale și oblice în același plan. Sursa: F. Zapata.

În acest fel, alegând orizontala ca referință, linia din stânga este verticală, cea din centru este orizontală, iar cea din dreapta este oblică, deoarece este înclinată în raport cu liniile de referință zilnice.

Acum, liniile care se află pe același plan, cum ar fi suprafața hârtiei sau ecranul, ocupă poziții diferite unele față de altele, în funcție de dacă acestea se intersectează sau nu. În primul caz, acestea sunt linii secante, în timp ce în al doilea, ele sunt paralele.

Pe de altă parte, liniile secante pot fi linii oblice sau linii perpendiculare. În ambele cazuri, pantele liniilor sunt diferite, dar liniile oblice formează unghiuri α și β una cu cealaltă, diferite de 90º, în timp ce unghiurile determinate de liniile perpendiculare sunt întotdeauna 90 °.

Figura următoare rezumă aceste definiții:

Figura 2. Pozițiile relative între linii: paralel, oblic și perpendicular diferă în unghiul pe care îl formează între ele. Sursa: F. Zapata.

ecuaţiile

Pentru a cunoaște pozițiile relative ale liniilor din plan, este necesar să cunoaștem unghiul dintre ele. Rețineți că liniile sunt:

În paralel : dacă au aceeași pantă (aceeași direcție) și nu se intersectează niciodată, prin urmare punctele lor sunt echidistante.

Coincidenți : când toate punctele sale coincid și, prin urmare, au aceeași pantă, dar distanța dintre punctele sale este zero.

Uscătoare : dacă pantele lor sunt diferite, distanța dintre punctele lor variază și intersecția este un singur punct.

Deci, o modalitate de a ști dacă două linii în plan sunt secante sau paralele este prin panta lor. Criteriile paralelismului și perpendicularității liniilor sunt următoarele:

Dacă, cunoscând pantele a două linii din plan, niciunul dintre criteriile de mai sus nu este îndeplinit, concluzionăm că liniile sunt oblice. Cunoscând două puncte pe o linie, panta este calculată imediat, așa cum vom vedea în secțiunea următoare.

Puteți afla dacă două linii sunt secante sau paralele, găsindu-le intersecția, rezolvând sistemul de ecuații pe care le formează: dacă există o soluție, ele sunt secante, dacă nu există o soluție, sunt paralele, dar dacă soluțiile sunt infinite, liniile sunt coincidente.

Cu toate acestea, acest criteriu nu ne informează despre unghiul dintre aceste linii, chiar dacă acestea se intersectează.

Pentru a cunoaște unghiul dintre linii, avem nevoie de doi vectori u și v care aparțin fiecăruia dintre ei. Astfel, este posibil să cunoaștem unghiul pe care îl formează cu ajutorul produsului scalar al vectorilor, definit în acest fel:

u • v = uvcos α

Ecuația liniei în plan

O linie în planul cartezian poate fi reprezentată în mai multe moduri, cum ar fi:

- Forma de interceptare a pantelor: dacă m este panta liniei și b este intersecția liniei cu axa verticală, ecuația liniei este y = mx + b.

- Ecuația generală a liniei : Ax + By + C = 0, unde m = A / B este panta.

În planul cartezian, liniile verticale și orizontale sunt cazuri particulare ale ecuației liniei.

- Liniile verticale : x = a

- Liniile orizontale : y = k

Figura 3. În stânga linia verticală x = 4 și linia orizontală y = 6. În dreapta un exemplu de linie oblică. Sursa: F. Zapata.

În exemplele din figura 3, linia roșie verticală are ecuația x = 4, în timp ce linia paralelă cu axa x (albastru) are ecuația y = 6. În ceea ce privește linia din dreapta, vedem că este oblică și pentru a-i găsi ecuația folosim punctele evidențiate în figură: (0,2) și (4,0) în acest fel:

Tăierea acestei linii cu axa verticală este y = 2, după cum se poate vedea din grafic. Cu aceste informații:

Determinarea unghiului de înclinare față de axa x este ușoară. Simt că:

Prin urmare, unghiul pozitiv de la axa x la linie este: 180º - 26,6º = 153,4º

Exemple de linii oblice

Figura 4. Exemple de linii oblice. Sursa: garduri Ian Patterson. Turnul aplecat al lui Pisa. Pixabay.

Liniile oblice apar în multe locuri, este o chestiune de atenție pentru a le găsi în arhitectură, sport, cablaje de alimentare electrică, conducte și multe alte locuri. În natură, liniile oblice sunt de asemenea prezente, așa cum vom vedea mai jos:

Razele de lumină

Lumina soarelui călătorește în linie dreaptă, dar forma rotundă a Pământului afectează modul în care lumina soarelui lovește suprafața.

În imaginea de mai jos putem vedea clar că razele solare se lovesc perpendicular în regiunile tropicale, dar în schimb, ajung în mod obișnuit la suprafață în regiunile temperate și la poli.

Acesta este motivul pentru care razele soarelui parcurg o distanță mai lungă prin atmosferă și, de asemenea, căldura se răspândește pe o suprafață mai mare (vezi figura). Rezultatul este că zonele din apropierea poli sunt mai reci.

Figura 5. Razele soarelui cad oblic în zonele temperate și în poli, în schimb sunt mai mult sau mai puțin perpendiculare în tropice. Sursa: Wikimedia Commons.

Linii care nu sunt în același plan

Când două linii nu sunt în același plan, ele pot fi totuși oblice sau deformate, așa cum sunt cunoscute și ele. În acest caz, vectorii lor directori nu sunt paraleli, dar, întrucât nu aparțin aceluiași plan, aceste linii nu se intersectează.

De exemplu, liniile din figura 6 dreaptă sunt clar în planuri diferite. Dacă le privești de sus, poți vedea că se intersectează, dar nu au un punct comun. În dreapta vedem roțile bicicletei, ale căror raze par să se încrucișeze când sunt privite din față.

Figura 6. Liniile oblice aparținând diferitelor planuri. Sursa: stânga F. Zapata, dreapta Pixabay.

Referințe

1. Geometrie. Vectorul director al unei linii. Recuperat din: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calcul cu geometrie analitică. 8-a. Ediție. McGraw Hill.
3. Matematica este un joc. Linii și unghiuri. Recuperat din: reunadeandalucia.es.
4. Liniile drepte care se intersectează. Recuperat de la: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Geometrie analitică în R3. Recuperat din: dspace.espol.edu.ec.