COORDONATE CILINDRICE: SISTEM, SCHIMBARE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cele coordonate cilindrice sunt folosite pentru a localiza puncte în spațiu tridimensional și constă dintr - o coordonata radială ρ, φ azimutală coordonate și z coordonatele înălțimii.

Un punct P situat în spațiu este proiectat ortogonal pe planul XY dând naștere punctului P 'din acel plan. Distanța de la origine la punctul P 'definește coordonata ρ, în timp ce unghiul dintre axa X și raza OP' definește coordonata φ. În cele din urmă, coordonata z este proiecția ortogonală a punctului P pe axa Z. (vezi figura 1).

Figura 1. Punctul P al coordonatelor cilindrice (ρ, φ, z). (Elaborare proprie)

Coordonata radială ρ este întotdeauna pozitivă, coordonata azimutală φ variază de la zero radian la două radian pi, în timp ce coordonata z poate lua orice valoare reală:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Schimbarea coordonatelor

Este relativ ușor să obțineți coordonatele carteziene (x, y, z) ale unui punct P din coordonatele sale cilindrice (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Dar este posibilă și obținerea coordonatelor polare (ρ, φ, z) pornind de la cunoașterea coordonatelor carteziene (x, y, z) ale unui punct P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Baza vectorială în coordonate cilindrice

Baza vectorilor unității cilindrice Uρ , Uφ , Uz este definită .

Vectorul Uρ este tangent cu linia φ = ctte și z = ctte (îndreptat radial spre exterior), vectorul Uφ este tangent cu linia ρ = ctte și z = ctte și în final Uz are aceeași direcție a axei Z.

Figura 2. Baza de coordonate cilindrice. (comuniuni wikimedia)

În baza unității cilindrice, vectorul de poziție r al unui punct P este scris vectorial astfel:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Pe de altă parte, o infinitezimal deplasare d r de la punctul P se exprimă după cum urmează:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

În mod similar, un element infinitesimal al volumului dV în coordonate cilindrice este:

dV = ρ dρ dφ dz

Exemple

Există nenumărate exemple de utilizare și aplicare a coordonatelor cilindrice. În cartografie, de exemplu, se utilizează proiecția cilindrică, bazată tocmai pe aceste coordonate. Există mai multe exemple:

Exemplul 1

Coordonatele cilindrice au aplicații în tehnologie. Ca exemplu, avem sistemul CHS (Cylinder-Head-Sector) de localizare a datelor de pe un hard disk, care constă de fapt din mai multe discuri:

- Cilindrul sau șina corespunde coordonatei ρ.

- Sectorul corespunde poziției φ a discului care se rotește cu viteză unghiulară mare.

- Capul corespunde poziției z a capului de citire pe discul corespunzător.

Fiecare octet de informație are o adresă precisă în coordonate cilindrice (C, S, H).

Figura 2. Localizarea informațiilor în coordonate cilindrice pe un sistem de hard disk. (comuniuni wikimedia)

Exemplul 2

Macarale de construcție fixează poziția sarcinii în coordonate cilindrice. Poziția orizontală este definită de distanța până la axa sau săgeata macaralei ρ și de poziția unghiulară φ față de o anumită axă de referință. Poziția verticală a sarcinii este determinată de coordonata z a înălțimii.

Figura 3. Poziția sarcinii pe o macara de construcție poate fi ușor exprimată în coordonate cilindrice. (imagine pixabay - adnotări R. Pérez)

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Există puncte P1 cu coordonate cilindrice (3, 120º, -4) și punctul P2 cu coordonate cilindrice (2, 90º, 5). Găsiți distanța euclidiană între aceste două puncte.

Soluție: În primul rând, vom continua să găsim coordonatele carteziene ale fiecărui punct urmând formula care a fost dată mai sus.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Distanța euclidiană între P1 și P2 este:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Exercițiul 2

Punctul P are coordonate carteziene (-3, 4, 2). Găsiți coordonatele cilindrice corespunzătoare.

Soluție: Procedăm la găsirea coordonatelor cilindrice folosind relațiile date mai sus:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Trebuie amintit că funcția arctangentă este multivaluată cu o periodicitate de 180º. De asemenea, unghiul φ trebuie să aparțină celui de-al doilea cadran, deoarece coordonatele x și y ale punctului P sunt în acel cadran. Acesta este motivul pentru care s-au adăugat 180º la rezultatul φ.

Exercițiul 3

Se exprimă în coordonate cilindrice și în coordonate carteziene suprafața unui cilindru cu raza 2 și a cărui axă coincide cu axa Z.

Soluție: Se înțelege că cilindrul are o extensie infinită în direcția z, deci ecuația suprafeței menționate în coordonate cilindrice este:

ρ = 2

Pentru a obține ecuația carteziană a suprafeței cilindrice, se ia pătratul ambelor membre ale ecuației anterioare:

ρ ² = 4

Înmulțim ambii membri ai egalității anterioare cu 1 și aplicăm identitatea trigonometrică fundamentală (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Paranteza este dezvoltată pentru a obține:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Ne amintim că primele paranteze (ρ sin (φ)) sunt coordonata y a unui punct în coordonate polare, în timp ce parantezele (ρ cos (φ)) reprezintă coordonata x, astfel încât avem ecuația cilindrului în coordonate. cartezian:

y ² + x ² = 2 ²

Ecuația de mai sus nu trebuie confundată cu cea a unei circumferințe în planul XY, deoarece în acest caz ar arăta astfel: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Exercițiul 4

Un cilindru cu raza R = 1 m și înălțimea H = 1m are masa sa distribuită radial conform următoarei ecuații D (ρ) = C (1 - ρ / R) unde C este o constantă a valorii C = 1 kg / m ³ . Găsiți masa totală a cilindrului în kilograme.

Soluție: Primul lucru este să vă dați seama că funcția D (ρ) reprezintă densitatea de masă volumetrică și că densitatea de masă este distribuită în cochilii cilindrice cu densitate descrescătoare de la centru la periferie. Un element infinitesimal de volum în funcție de simetria problemei este:

dV = ρ dρ 2π H

Prin urmare, masa infinitesimală a unei cochilii cilindrice va fi:

dM = D (ρ) dV

Prin urmare, masa totală a cilindrului va fi exprimată prin următoarea integrală:

M = ∫ _sau ^R D (ρ) dV = ∫ _sau ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _sau ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Soluția integrală indicată nu este greu de obținut, rezultatul acesteia fiind:

∫ _sau ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Incorporând acest rezultat în expresia masei cilindrului, obținem:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referințe

1. Arfken G și Weber H. (2012). Metode matematice pentru fizicieni. Un ghid cuprinzător. Ediția a VII-a. Presă academică. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcul cc. S-au rezolvat problemele coordonatelor cilindrice și sferice. Recuperat din: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. „Coordonate cilindrice”. Din MathWorld - Un Wolfram Web. Recuperat de la: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sistem cilindric de coordonate. Recuperat din: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Campuri vectoriale în coordonate cilindrice și sferice. Recuperat din: en.wikipedia.com