PROPRIETATE ASOCIATIVĂ: ADĂUGARE, ÎNMULȚIRE, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Proprietatea asociativă a adăugării reprezintă caracterul asociativ al operației de adăugare în diferite seturi matematice. În ea, trei (sau mai multe) elemente ale mulțimilor menționate sunt legate, numite a, b și c, astfel încât este întotdeauna adevărat:

a + (b + c) = (a + b) + c

În acest fel, se garantează că, indiferent de modul de grupare pentru a efectua operațiunea, rezultatul este același.

Figura 1. Folosim proprietatea asociativă a adaosului de multe ori atunci când facem operații aritmetice și algebrice. (Desen: Freepik Compoziție: F. Zapata)

Trebuie menționat însă că proprietatea asociativă nu este sinonimă cu proprietatea comutativă. Adică știm că ordinea completărilor nu modifică suma sau că ordinea factorilor nu modifică produsul. Deci pentru suma se poate scrie astfel: a + b = b + a.

Cu toate acestea, în proprietatea asociativă este diferită, deoarece ordinea elementelor care trebuie adăugate este menținută și ceea ce schimbă este operația care se execută mai întâi. Ceea ce înseamnă că adăugarea primului (b + c) și adăugarea a la acest rezultat nu contează decât a începe să adăugați a cu rezultatul adăugând c.

Multe operații importante, cum ar fi adăugarea sunt asociative, dar nu toate. De exemplu, în scăderea numerelor reale se întâmplă că:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Dacă a = 2, b = 3, c = 1, atunci:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Proprietatea asociativă a înmulțirii

Așa cum s-a făcut pentru adăugare, proprietatea asociativă a înmulțirii afirmă că:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

În cazul setului de numere reale, este ușor de verificat dacă acesta este întotdeauna cazul. De exemplu, folosind valorile a = 2, b = 3, c = 1, avem:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Numerele reale îndeplinesc proprietatea asociativă atât a adăugării cât și a înmulțirii. Pe de altă parte, într-un alt set, cum este cel al vectorilor, suma este asociativă, dar produsul încrucișat sau produsul vectorial nu este.

Aplicații ale proprietății asociative a înmulțirii

Un avantaj al operațiunilor în care proprietatea asociativă este îndeplinită este de a putea grupa în cel mai convenabil mod. Acest lucru face rezolvarea mult mai ușoară.

De exemplu, să presupunem că într-o bibliotecă mică există 3 rafturi cu 5 rafturi fiecare. În fiecare raft există 8 cărți. Câte cărți există în toate?

Putem efectua operația astfel: cărți totale = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 cărți.

Sau așa: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 cărți.

Figura 2. O aplicație a proprietății asociative a înmulțirii este de a calcula numărul de cărți de pe fiecare raft. Imagine creată de F. Zapata.

Exemple

-În seturi de numere naturale, întregi, raționale, reale și complexe, proprietatea asociativă a adăugării și înmulțirii sunt îndeplinite.

Figura 3. Pentru numere reale, proprietatea asociativă a adăugării este îndeplinită. Sursa: Wikimedia Commons.

-Pentru polinoame se aplică și în aceste operații.

-În cazurile de operații de scădere, divizare și exponențiere, proprietatea asociativă nu ține pentru numere reale sau polinomii.

-În cazul matricilor, proprietatea asociativă este îndeplinită pentru adăugare și înmulțire, deși în ultimul caz, comutativitatea nu este îndeplinită. Aceasta înseamnă că, având în vedere matricile A, B și C, este adevărat că:

(A x B) x C = A x (B x C)

Dar … A x B ≠ B x A

Proprietatea asociativă în vectori

Vectorii formează un set diferit de numerele reale sau numerele complexe. Operațiunile definite pentru setul de vectori sunt oarecum diferite: există adunare, scădere și trei tipuri de produse.

Suma vectorilor îndeplinește proprietatea asociativă, la fel ca și numerele, polinoamele și matricile. În ceea ce privește produsele scalare, scalare pe vector și cruce care se realizează între vectori, acesta din urmă nu îl îndeplinește, dar produsul scalar, care este un alt tip de operație între vectori, îl îndeplinește, ținând cont de următoarele:

-Produsul unui scalar și al unui vector are ca rezultat un vector.

-Și când multiplicați scalar doi vectori, rezultă un scalar.

Prin urmare, având în vedere vectorii v , u și w, și în plus un scalar λ, este posibil să scrieți:

- Suma vectorilor: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar produs: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Aceasta din urmă este posibilă datorită faptului că v • u este un scalar, iar λ v este un vector.

In orice caz:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Factorizarea polinoamelor prin gruparea termenilor

Această aplicație este foarte interesantă, pentru că așa cum se spunea anterior, proprietatea asociativă ajută la rezolvarea anumitor probleme. Suma monomialelor este asociativă și aceasta poate fi utilizată pentru factoring atunci când un factor comun evident nu apare la prima vedere.

De exemplu, să presupunem că vi se cere să factorizați: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Acest polinom nu are un factor comun, dar să vedem ce se întâmplă dacă este grupat astfel:

Prima paranteză are un factor comun al axei ² :

În al doilea factor comun este 3:

Exerciții

- Exercitiul 1

O clădire a școlii are 4 etaje și fiecare are 12 săli de clasă cu 30 de birouri în interior. Câte birouri are școala în total?

Soluţie

Această problemă este rezolvată aplicând proprietatea asociativă a înmulțirii, să vedem:

Număr total de birouri = 4 etaje x 12 săli de clasă / etaj x 30 de birouri / sală de clasă = (4 x 12) x 30 de birouri = 48 x 30 = 1440 de birouri.

Sau dacă preferi: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 de birouri

- Exercițiul 2

Date fiind polinoamele:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Aplicați proprietatea asociativă a adăugării pentru a găsi A (x) + B (x) + C (x).

Soluţie

Puteți grupa primele două și a adăuga al treilea la rezultat:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Se adaugă imediat polinomul C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Cititorul poate verifica dacă rezultatul este identic dacă este rezolvat prin opțiunea A (x) +.

Referințe

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
2. Matematica este distracție. Legile comutative, asociative și distributive. Recuperat de la: mathisfun.com.
3. Depozitul Math. Definiția Associative Property. Recuperat de la: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Proprietate asociativă și comutativă de adăugare și înmulțire (cu exemple). Recuperat de la: știința.com.
5. Wikipedia. Proprietate asociativă. Recuperat de la: en.wikipedia.org.