PIRAMIDA HEXAGONALĂ: DEFINIȚIE, CARACTERISTICI ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

O piramidă hexagonală este un poliedru format dintr-un hexagon, care este baza, și șase triunghiuri care pornesc de la vârfurile hexagonului și se întâlnesc într-un punct din afara planului care conține baza. Acest punct de concurgență este cunoscut sub numele de vertex sau vârful piramidei.

Un poliedru este un corp geometric închis tridimensional ale cărui fețe sunt figuri plane. Un hexagon este o figură în plan închis (poligon) format din șase laturi. Dacă toate cele șase laturi au aceeași lungime și formează unghiuri egale, se spune că este regulat; altfel este neregulat.

Definiție

O piramidă hexagonală conține șapte fețe, baza și cele șase triunghiuri laterale, dintre care baza este singura care nu atinge vertexul.

Piramida se spune drept dacă toate triunghiurile laterale sunt izoscele. În acest caz, înălțimea piramidei este segmentul care merge de la vertex la centrul hexagonului.

În general, înălțimea unei piramide este distanța dintre vertex și planul bazei. Piramida se spune oblică, dacă nu toate triunghiurile laterale sunt izoscele.

Dacă hexagonul este regulat și piramida este dreaptă, se spune că este o piramidă hexagonală regulată. În mod similar, dacă hexagonul este neregulat sau piramida este oblică, se spune că este o piramidă hexagonală neregulată.

caracteristici

Concave sau convexe

Un poligon este convex dacă măsura tuturor unghiurilor interioare este mai mică de 180 de grade. Geometric, acest lucru este echivalent cu a spune că, având în vedere o pereche de puncte în interiorul poligonului, segmentul de linie care le unește este conținut în poligon. În caz contrar, se spune că poligonul este concav.

Dacă hexagonul este convex, se spune că piramida este o piramidă hexagonală convexă. În caz contrar, se va spune că este o piramidă hexagonală concavă.

Margini

Marginile unei piramide sunt laturile celor șase triunghiuri care o alcătuiesc.

apotemă

Apotemul piramidei este distanța dintre vertex și laturile bazei piramidei. Această definiție are sens doar atunci când piramida este regulată, deoarece, dacă este neregulată, această distanță variază în funcție de triunghiul considerat.

În schimb, în ​​piramidele obișnuite, apotemul va corespunde înălțimii fiecărui triunghi (întrucât fiecare este izoscel) și va fi același în toate triunghiurile.

Apotemul bazei este distanța dintre una din laturile bazei și centrul acesteia. Din modul în care este definit, apotemul bazei are sens și numai în piramidele obișnuite.

denotațiilor

Înălțimea unei piramide hexagonale va fi notată de h , apotemul bazei (în cazul obișnuit) de APb și apotemul piramidei (de asemenea, în cazul obișnuit) de către AP .

O caracteristică a piramidelor hexagonale obișnuite este că h , APb și AP formează un triunghi drept cu hipotenuză AP și picioare h și APb . Prin teorema lui Pitagore avem acel AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Imaginea de mai sus reprezintă o piramidă obișnuită.

Cum se calculează zona? Formulele

Luați în considerare o piramidă hexagonală obișnuită. Fie A măsura fiecărei părți a hexagonului. A apoi A corespunde măsurii bazei fiecărui triunghi al piramidei și, prin urmare, marginilor bazei.

Zona unui poligon este produsul perimetrului (suma laturilor) și apotemul bazei, împărțit la două. În cazul unui hexagon ar fi 3 * A * APb.

Se poate observa că aria unei piramide hexagonale obișnuite este egală cu șase ori suprafața fiecărui triunghi al piramidei, plus suprafața bazei. După cum am menționat anterior, înălțimea fiecărui triunghi corespunde apotemului piramidei, AP.

Prin urmare, aria fiecărui triunghi din piramidă este dată de A * AP / 2. Astfel, aria unei piramide hexagonale obișnuite este 3 * A * (APb + AP), unde A este o margine a bazei, APb este apotemul bazei și AP apotemul piramidei.

Calcul în piramidele hexagonale neregulate

În cazul unei piramide hexagonale neregulate nu există o formulă directă pentru a calcula aria ca în cazul precedent. Acest lucru se datorează faptului că fiecare triunghi din piramidă va avea o zonă diferită.

În acest caz, aria fiecărui triunghi trebuie calculată separat și aria bazei. Atunci aria piramidei va fi suma tuturor zonelor calculate anterior.

Cum se calculează volumul? Formulele

Volumul unei piramide cu formă hexagonală regulată este produsul înălțimii piramidei și aria bazei împărțită la trei. Astfel, volumul unei piramide hexagonale obișnuite este dat de A * APb * h, unde A este o margine a bazei, APb este apotema bazei și h este înălțimea piramidei.

Calcul în piramidele hexagonale neregulate

Analogic cu zona, în cazul unei piramide hexagonale neregulate nu există o formulă directă pentru a calcula volumul, deoarece marginile bazei nu au aceeași măsură, deoarece este un poligon neregulat.

În acest caz, aria bazei trebuie calculată separat, iar volumul va fi (h * Zona bazei) / 3.

Exemplu

Găsiți aria și volumul unei piramide hexagonale obișnuite cu o înălțime de 3 cm, a cărei bază este un hexagon regulat de 2 cm pe fiecare parte, iar apotemul bazei este de 4 cm.

Soluţie

În primul rând, trebuie calculat apotemul piramidei (AP), care este singura dată care lipsește. Privind imaginea de mai sus, se poate observa că înălțimea piramidei (3 cm) și apotemul bazei (4 cm) formează un triunghi drept; Prin urmare, pentru a calcula apotemul piramidei, se folosește teorema pitagoreică:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Astfel, folosind formula scrisă mai sus rezultă că aria este egală cu 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

Pe de altă parte, folosind formula de volum se obține că volumul piramidei date este 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

Referințe

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematică: o abordare de rezolvare a problemelor pentru profesorii de educație elementară. Editori López Mateos.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Matematică 3. Editura Progreso.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matematică 6. Editura Progreso.
4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, parlamentar (2005). Al treilea curs de matematică. Editorial Progreso.
5. Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Simetrie, formă și spațiu: o introducere în matematică prin geometrie (ediție ilustrată, reimprimată). Springer Media științifică și de afaceri.
6. Mitchell, C. (1999). Designuri de linii matematice strălucitoare (ed. Ilustrată) Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Desenez pe locul 6. Editorial Progreso.