UNGHIURI COMPLEMENTARE: CARE DINTRE ELE ȘI MODUL ÎN CARE SUNT CALCULATE, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Două sau mai multe unghiuri sunt unghiuri complementare dacă suma măsurilor lor corespunde cu cea a unui unghi drept. După cum se știe, măsura unui unghi drept în grade este de 90º, iar la radieni este π / 2.

De exemplu, cele două unghiuri adiacente hipotenuzei unui triunghi drept sunt complementare între ele, deoarece suma măsurilor lor este de 90º. Următoarea figură este foarte ilustrativă în acest sens:

Figura 1. În stânga, mai multe unghiuri cu un vertex comun. În dreapta, un unghi de 60º care completează unghiul α (alfa). Sursa: F. Zapata.

În figura 1 sunt prezentate un total de patru unghiuri. α și β sunt complementare, deoarece sunt adiacente, iar suma lor completează un unghi drept. În mod similar β este complementară cu γ, din care rezultă că γ și α sunt de măsură egală.

Acum, deoarece suma α și δ este egală cu 90 de grade, se poate afirma că α și δ sunt complementare. Mai mult, deoarece β și δ au aceeași α complementară, se poate spune că β și δ au aceeași măsură.

Exemple de unghiuri complementare

Următoarele exemple solicită să găsiți unghiurile necunoscute, marcate cu semne de întrebare din figura 2.

Figura 2. Diverse exemple de unghiuri complementare. Sursa: F. Zapata.

- Exemple A, B și C

Următoarele exemple sunt în ordinea complexității.

Exemplul A

În figura de mai sus avem că unghiurile adiacente α și 40º se adaugă până la un unghi drept. Adică α + 40º = 90º, de aceea α = 90º- 40º = 50º.

Exemplul B

Deoarece β este complementară unghiului de 35º, atunci β = 90º - 35º = 55º.

Exemplul C

Din figura 2C avem că suma γ + 15º + 15º = 90º. Cu alte cuvinte, γ este complementar unghiului 30º = 15º + 15º. Astfel încât:

γ = 90º- 30º = 60º

- Exemple D, E și F

În aceste exemple există mai multe unghiuri implicate. Pentru a găsi necunoscutele, cititorul trebuie să aplice conceptul de unghi complementar de câte ori este necesar.

Exemplul D

Deoarece X este complementar cu 72º, rezultă că X = 90º - 72º = 18º. În plus, Y este complementară lui X, deci Y = 90º - 18º = 72º.

În cele din urmă Z este complementară cu Y. Din toate cele de mai sus rezultă că:

Z = 90º - 72º = 18º

Exemplul E

Unghiurile δ și 2δ sunt complementare, prin urmare δ + 2δ = 90º.

Adică 3δ = 90º, ceea ce presupune că δ = 90º / 3 = 30º.

Exemplul F

Dacă numim unghiul dintre que și 10º U, atunci U este suplimentară pentru ambele, deoarece se observă că suma lor completează un unghi drept. Din care rezultă că U = 80º. Deoarece U este complementară cu ω, atunci ω = 10º.

Exerciții

Mai jos sunt propuse trei exerciții. În toate acestea trebuie găsită valoarea unghiurilor A și B în grade, astfel încât relațiile arătate în figura 3 să fie îndeplinite.

Figura 3. Ilustrații pentru exerciții unghiulare complementare. Sursa: F. Zapata.

- Exercitiul 1

Determinați valorile unghiurilor A și B din partea I) din figura 3.

Soluţie

Din figura prezentată se poate observa că A și B sunt complementare, deci A + B = 90º. Înlocuim expresia pentru A și B în funcție de x dată în partea I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Termenii sunt apoi grupați în mod corespunzător și se obține o ecuație liniară simplă:

(5x / 2) + 22 = 90

Scăzând 22 la ambii membri avem:

5x / 2 = 90 -22 = 68

Și în cele din urmă valoarea lui x este curățată:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Acum unghiul A se găsește substituind valoarea lui X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

În timp ce unghiul B este:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- Exercițiul 2

Găsiți valorile unghiurilor A și B ale imaginii II, figura 3.

Soluţie

Din nou, deoarece A și B sunt unghiuri complementare, rezultă că: A + B = 90º. Înlocuind expresia pentru A și B în funcție de x dată în partea II) din figura 3, avem:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Termenii similari sunt grupați pentru a obține ecuația:

6 x + 30 = 90

Împărțind ambii membri la 6 obțineți:

x + 5 = 15

Din care rezultă că x = 10º.

Prin urmare:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Exercițiul 3

Determinați valorile unghiurilor A și B din partea III) din figura 3.

Soluţie

Din nou, figura este analizată cu atenție pentru a găsi unghiurile complementare. În acest caz avem A + B = 90 grade. Substituind expresia pentru A și B ca funcție a x dată în figură, avem:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Împărțirea ambilor membri la 3 rezultă în următoarele:

x + 10 = 30

Din care rezultă că x = 20º.

Cu alte cuvinte, unghiul A = -20 +45 = 25º. Iar pentru partea sa: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Unghiuri laterale perpendiculare

Se spune că două unghiuri au perpendiculare dacă fiecare parte are o perpendiculară corespunzătoare pe cealaltă. Figura următoare clarifică conceptul:

Figura 4. Unghiurile laturilor perpendiculare. Sursa: F. Zapata.

În figura 4, de exemplu, sunt observate unghiurile α și θ. Acum observați că fiecare unghi are perpendiculara corespunzătoare la celălalt unghi.

Se observă, de asemenea, că α și θ au același unghi complementar z, de aceea observatorul concluzionează imediat că α și θ au aceeași măsură. Se pare că, dacă două unghiuri au laturi perpendiculare între ele, sunt egale, dar să ne uităm la un alt caz.

Acum luați în considerare unghiurile α și ω. Aceste două unghiuri au, de asemenea, laturi perpendiculare corespunzătoare, cu toate acestea, nu se poate spune că sunt de măsură egală, deoarece unul este acut și celălalt este obtuz.

Rețineți că ω + θ = 180º. Mai mult, θ = α. Dacă înlocuiți această expresie cu z în prima ecuație, primiți:

δ + α = 180º, unde δ și α sunt unghiuri reciproc perpendiculare ale laturilor.

Regula generală pentru unghiurile laturilor perpendiculare

1. Baldor, JA 1973. Planul și geometria spațiului. Central American Cultural.
2. Legi și formule matematice. Sisteme de măsurare a unghiurilor Recuperat de la: ingemecanica.com.
3. Wentworth, Geometria planului G. Recuperat de la: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Unghiuri complementare. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pe banda rulanta. Recuperat din: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: istorie, părți, operație. Recuperat de la: lifeder.com