UNGHIUL NUL: DEFINIȚIE ȘI CARACTERISTICI, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Unghiul nul este una a cărei măsură este 0, atât în grade și în radiani sau alt sistem de măsurare a unghiului. Prin urmare, îi lipsește lățimea sau deschiderea, ca cea formată între două linii paralele.

Deși definiția sa sună destul de simplu, unghiul nul este foarte util în multe aplicații de fizică și inginerie, precum și în navigare și design.

Figura 1. Între viteza și accelerația mașinii există un unghi zero, de aceea mașina merge mai repede și mai repede. Sursa: Wikimedia Commons.

Există cantități fizice care trebuie aliniate în paralel pentru a obține anumite efecte: dacă o mașină se deplasează în linie dreaptă de-a lungul unei autostrăzi și între vectorul său de viteză v și vectorul său de accelerație a este 0º, mașina se mișcă mai repede și mai repede, dar dacă mașina frâne, accelerația sa este opusă vitezei sale (a se vedea figura 1).

Figura următoare prezintă diferite tipuri de unghi, inclusiv unghiul nul spre dreapta. După cum se poate vedea, unghiul 0º nu are lățime sau deschidere.

Figura 2. Tipuri de unghi, inclusiv unghiul nul. Sursa: Wikimedia Commons. Orias.

Exemple de unghiuri nule

Liniile paralele sunt cunoscute pentru a forma un unghi zero între ele. Când aveți o linie orizontală, aceasta este paralelă cu axa x a sistemului de coordonate carteziene, prin urmare, înclinarea sa față de aceasta este 0. Cu alte cuvinte, liniile orizontale au panta zero.

Figura 3. Liniile orizontale au panta zero. Sursa: F. Zapata.

De asemenea, raporturile trigonometrice ale unghiului nul sunt 0, 1 sau infinit. Prin urmare, unghiul nul este prezent în multe situații fizice care implică operații cu vectori. Aceste motive sunt:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Și vor fi utile pentru a analiza câteva exemple de situații în care prezența unghiului nul joacă un rol fundamental:

- Efectele unghiului nul asupra mărimilor fizice

Adaos vectorial

Când doi vectori sunt paraleli, unghiul dintre ei este zero, așa cum se vede în figura 4a de mai sus. În acest caz, suma ambelor se realizează prin plasarea unuia după celălalt, iar mărimea vectorului sumei este suma mărimilor adaosurilor (figura 4b).

Figura 4. Suma vectorilor paraleli, în acest caz unghiul dintre ei este un unghi nul. Sursa: F. Zapata.

Când doi vectori sunt paraleli, unghiul dintre ei este zero, așa cum se vede în figura 4a de mai sus. În acest caz, suma ambelor se realizează prin plasarea unuia după celălalt, iar mărimea vectorului sumei este suma mărimilor adaosurilor (figura 4b)

Cuplul sau cuplul

Cuplul sau cuplul determină rotirea unui corp. Depinde de mărimea forței aplicate și de modul în care este aplicată. Un exemplu foarte reprezentativ este cheia din figură.

Pentru a obține cel mai bun efect de rotație, forța este aplicată perpendicular pe mânerul cheii, în sus sau în jos, dar nu se așteaptă nicio rotație dacă forța este paralelă cu mânerul.

Figura 5. Când unghiul dintre vectorii de poziție și forță este zero, nu se produce nici un cuplu și, prin urmare, nu există efect de centrifugare. Sursa: F. Zapata.

Matematic, cuplul τ este definit ca produs vectorial sau produs încrucișat între vectorii r (vectorul de poziție) și F (vectorul de forță) din figura 5:

τ = r x F

Mărimea cuplului este:

τ = r F sin θ

Θ fiind unghiul dintre r și F . Când sin θ = 0 cuplul este zero, în acest caz θ = 0º (sau de asemenea 180º).

Fluxul câmpului electric

Fluxul câmpului electric este o cantitate scalară care depinde de intensitatea câmpului electric, precum și de orientarea suprafeței prin care trece.

În figura 6 există o suprafață circulară a zonei A , prin care linii electrice de câmp E trecere . Orientarea suprafeței este dată de vectorul normal n . În stânga câmpul și vectorul normal formează un unghi acut arbitrar θ, în centru formează un unghi nul unul cu celălalt, iar în dreapta sunt perpendiculare.

Când E și n sunt perpendiculare, liniile de câmp nu traversează suprafața și, prin urmare, fluxul este zero, în timp ce unghiul dintre E și n este zero, liniile traversează complet suprafața.

Notarea fluxului de câmp electric prin litera greacă Φ (citiți „fi”), definiția sa pentru un câmp uniform ca în figură, arată astfel:

Φ = E • n A

Punctul din mijlocul ambelor vectori denotă produsul punct sau produsul scalar, care este definit alternativ după cum urmează:

Φ = E • n A = EAcosθ

Cu caractere aldine și săgețile de deasupra literei sunt resurse pentru a diferenția între un vector și magnitudinea acestuia, care este notată cu litere normale. Deoarece cos 0 = 1, fluxul este maxim atunci când E și n sunt paralele.

Figura 6. Fluxul câmpului electric depinde de orientarea dintre suprafață și câmpul electric. Sursa: F. Zapata.

Exerciții

- Exercitiul 1

Două forțe P și Q acționează simultan asupra unui obiect punct X, ambele forțe inițial formează un unghi θ între ele. Ce se întâmplă cu magnitudinea forței rezultate, deoarece θ scade la zero?

Figura 7. Unghiul dintre două forțe care acționează asupra unui corp scade până la anularea acestuia, caz în care magnitudinea forței rezultate își capătă valoarea maximă. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Mărimea forței rezultate Q + P crește treptat până când este maximă atunci când Q și P sunt complet paralele (figura 7 dreapta).

- Exercițiul 2

Indicați dacă unghiul nul este o soluție a următoarei ecuații trigonometrice:

Soluţie

O ecuație trigonometrică este cea în care necunoscutul face parte din argumentul unui raport trigonometric. Pentru a rezolva ecuația propusă, este convenabil să utilizați formula pentru cosinusul unghiului dublu:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Deoarece în acest fel, argumentul din partea stângă devine x în loc de 2x. Asa de:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Pe de altă parte cos ² x + sin ² x = 1, deci:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termenul cos ² x anulează și rămâne:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Acum se face următoarea modificare variabilă: sinx = u și ecuația devine:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Ale căror soluții sunt: ​​u = 0 și u = -4. Revenind la schimbare, am avea două posibilități: sin x = 0 și sinx = -4. Această ultimă soluție nu este viabilă, deoarece sinusul oricărui unghi este cuprins între -1 și 1, deci rămânem cu prima alternativă:

sin x = 0

Prin urmare, x = 0º este o soluție, dar funcționează și orice unghi al cărui sinus este 0, care poate fi de asemenea 180º (π radian), 360º (2 π radian) și negativele respective.

Cea mai generală soluție a ecuației trigonometrice este: x = kπ unde k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k un număr întreg.

Referințe

1. Baldor, A. 2004. Geometria planului și spațiului cu trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: fizică pentru știință și inginerie. Volumul 3. Sisteme de particule. Editat de Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serie: fizică pentru știință și inginerie. Volumul 5. Interacțiunea electrică. Editat de Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Tipuri de unghiuri. Recuperat de la: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebră, trigonometrie și geometrie analitică. McGraw Hill Interamericana.