Unghiul unui cerc înscrise este una care are vârful său pe cercul și razele sale sunt secante sau tangente la acesta. În consecință, unghiul înscris va fi întotdeauna convex sau plat.
În figura 1 sunt reprezentate mai multe unghiuri înscrise în circumferințele lor respective. Unghiul ∠EDF este inscris prin a avea vertexul D pe circumferință și cele două raze ale sale.
Într-un triunghi izoscel, unghiurile adiacente bazei sunt egale, deci ∠BCO = ∠ABC = α. Pe de altă parte ∠COB = 180º - β.
Având în vedere suma unghiurilor interne ale triunghiului COB, avem:
α + α + (180º - β) = 180º
Din care rezultă că 2 α = β, sau ce este echivalent: α = β / 2. Acest lucru este de acord cu ceea ce este declarat de Teorema 1: măsura unghiului înscris este jumătate din unghiul central, dacă ambele unghiuri subcentrează aceeași coardă.
Demonstrație 1b
Figura 6. Construcție auxiliară pentru a arăta că α = β / 2. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.
În acest caz, avem un unghi înscris ∠ABC, în care centrul O al cercului este în interiorul unghiului.
Pentru a dovedi teorema 1 în acest caz, desenați raza auxiliară) .push ({});
În mod similar, unghiurile centrale β 1 și β 2 sunt adiacente razei menționate. Astfel , avem aceeași situație ca și arată 1a, astfel încât se poate spune că α 2 = β 2 /2 și alfa 1 = β 1 /2. Ca α = α 1 + α 2 și β = β 1 + β 2 au , prin urmare, α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / Două.
În concluzie α = β / 2, care îndeplinește teorema 1.
- Teorema 2
Figura 7. Unghiuri inscripționate de măsură egală α, pentru că subcentrează același arc A⌒C. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.
- Teorema 3
Unghiurile inscripționate care subtentează acordurile de aceeași măsură sunt egale.
Figura 8. Unghiurile înscrise care subtentează acordurile de măsură egală au măsură egală β. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.
Exemple
- Exemplul 1
Arătați că unghiul înscris care subcentrează diametrul este un unghi drept.
Soluţie
Unghiul central ∠AOB asociat diametrului este un unghi plan, a cărui măsură este de 180º.
Conform Teoremei 1, fiecare unghi înscris în circumferința care subcentrează aceeași coardă (în acest caz diametrul), are ca măsură jumătate din unghiul central care subcentrează aceeași coardă, care, de exemplu, este de 180º / 2 = 90º.
Figura 9. Fiecare unghi înscris care se subcentrează diametrului este un unghi drept. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.
- Exemplul 2
Linia (BC) tangentă la A până la circumferința C, determină unghiul înscris ∠BAC (vezi figura 10).
Verificați dacă Teorema 1 a unghiurilor înscrise este îndeplinită.
Figura 10. Unghiul BAC înscris și unghiul său central convex AOA. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.
Soluţie
Unghiul ∠BAC este înscris deoarece vertexul său este pe circumferință, iar laturile sale [AB) și [AC) sunt tangente cu circumferința, astfel încât definiția unghiului înscris este satisfăcută.
Pe de altă parte, unghiul inscripționat ∠BAC subcentrează arcul A ,A, care este întreaga circumferință. Unghiul central care subcentrează arcul A⌒A este un unghi convex a cărui măsură este unghiul complet (360º).
Unghiul înscris care subcentrează întregul arc măsoară jumătate din unghiul central asociat, adică ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Cu toate cele de mai sus, se verifică că acest caz particular îndeplinește teorema 1.
Referințe
- Baldor. (1973). Geometrie și trigonometrie. Editura culturală din America Centrală.
- EA (2003). Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie busolă. Universitatea din Medellin.
- Geometrie I ESO. Unghiuri pe circumferință. Recuperat din: edu.xunta.es/
- Toată Știința. Exerciții propuse de unghiuri în circumferință. Recuperat de la: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Unghiul înscris. Recuperat din: es.wikipedia.com