MOMENTUL INERȚIEI: FORMULE, ECUAȚII ȘI EXEMPLE DE CALCUL - FIZIC - 2025

Momentul de inerție al unui corp rigid în raport cu o anumită axă de rotație reprezintă rezistența la schimbarea vitezei sa unghiulară în jurul axei. Este proporțional cu masa și, de asemenea, cu locația axei de rotație, deoarece corpul, în funcție de geometria sa, se poate roti mai ușor în jurul anumitor axe decât în ​​altele.

Să presupunem un obiect mare (format din multe particule) care se poate roti în jurul unei axe. Să presupunem că o forță F acționează tangențial pe elementul de masă Δm _i , care produce un moment sau un moment, dat de τ _net = ∑ r _i x F _i . Vectorul r _i este poziția lui Δm _i (a se vedea figura 2).

Figura 1. Momente de inerție a diferitelor figuri. Sursa: Wikimedia Commons.

Acest moment este perpendicular pe planul de rotație (direcție + k = părăsirea hârtiei). Deoarece forța și vectorul de poziție radială sunt întotdeauna perpendiculare, produsul încrucișat rămâne:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Figura 2. O particulă aparținând unui solid rigid în rotație. Sursa: Serway, R. 2018. Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. Cengage Learning.

Accelerația a _i reprezintă componenta tangențială a accelerației, deoarece accelerația radială nu contribuie la cuplul. În funcție de accelerația unghiulară α, putem indica că:

Prin urmare, cuplul net arată astfel:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Accelerația unghiulară α este aceeași pentru întregul obiect, prin urmare nu este afectată de subscriptul "i" și poate părăsi însumarea, care este tocmai momentul de inerție a obiectului simbolizat prin litera I:

Acesta este momentul inerției unei distribuții de masă discrete. Când distribuția este continuă, însumarea este înlocuită cu o integrală și Δm devine un diferențial de masă dm. Integrala este realizată pe întregul obiect:

Unitățile pentru momentul de inerție în Sistemul Internațional SI sunt kg xm ² . Este o cantitate scalară și pozitivă, deoarece este produsul unei mase și al pătratului unei distanțe.

Exemple de calcul

Un obiect extins, cum ar fi o bară, un disc, o sferă sau altul, a cărui densitate ρ este constantă și știind că densitatea este raportul masă-volum, diferențialul de masă dm este scris ca:

Înlocuind integral în momentul inerției, avem:

Aceasta este o expresie generală, valabilă pentru un obiect tridimensional, al cărui volum V și poziția r sunt funcții ale coordonatelor spațiale x, y și z. Rețineți că fiind constantă, densitatea este în afara integralei.

Densitatea ρ este cunoscută și ca densitate în vrac, dar dacă obiectul este foarte plat, ca o foaie sau foarte subțire și îngustă ca o tijă, se pot folosi alte forme de densitate, să vedem:

- Pentru o foaie foarte subțire, densitatea de utilizat este σ, densitatea de suprafață (masă pe unitate de suprafață) și dA este diferențialul de zonă.

- Și dacă este o bară subțire, unde este relevantă numai lungimea, se utilizează densitatea liniară a masei λ și un diferențial de lungime, în conformitate cu axa utilizată ca referință.

În exemplele care urmează, toate obiectele sunt considerate rigide (nu deformabile) și au o densitate uniformă.

Moment de inerție a unei bare subțiri față de o axă care trece prin centrul ei

Aici vom calcula momentul inerției unei bare subțiri, rigide, omogene de lungime L și masă M, în raport cu o axă care trece prin mediu.

În primul rând, este necesar să se stabilească un sistem de coordonate și să se construiască o figură cu geometria corespunzătoare, astfel:

Figura 3. Geometria pentru calcularea momentului de inerție a unei tije subțiri față de o axă verticală care trece prin centrul acesteia. Sursa: F. Zapata.

Axa x de-a lungul barei și axa y a fost aleasă ca axa de rotație. Procedura pentru a stabili integrala necesită, de asemenea, alegerea unui diferențial de masă pe bara, numit dm, care are o lungime diferențială dx și care este situat la poziția arbitrară x, în raport cu centrul x = 0.

Conform definiției densității liniare a masei λ:

Deoarece densitatea este uniformă, care este valabilă pentru M și L, este valabilă și pentru dm și dx:

Pe de altă parte, elementul de masă este în poziția x, deci prin substituirea acestei geometrii în definiție, avem o integrală definitivă, ale cărei limite sunt capetele barei în funcție de sistemul de coordonate:

Înlocuirea densității liniare λ = M / L:

Pentru a găsi momentul de inerție a barei în raport cu o altă axă de rotație, de exemplu, una care trece prin unul dintre capetele sale, puteți folosi teorema lui Steiner (vezi exercițiul rezolvat la sfârșit) sau puteți efectua un calcul direct similar cu cel arătat aici, dar modificând geometria în mod corespunzător.

Moment de inerție a unui disc față de o axă care trece prin centrul său

Un disc foarte subțire de grosime neglijabilă este o figură plană. Dacă masa este distribuită uniform pe întreaga suprafață a zonei A, densitatea de masă σ este:

Atât dm cât și dA corespund masei și zonei inelului diferențial prezentat în figură. Vom presupune că întregul ansamblu se rotește în jurul axei y.

Vă puteți imagina că discul este format din mai multe inele concentrice de rază r, fiecare cu momentul respectiv de inerție. Adăugând contribuțiile tuturor inelelor până la atingerea razei R, vom avea momentul total de inerție al discului.

Figura 4. Geometria pentru calcularea momentului de inerție a unui disc, în raport cu axa axială. Sursa: F. Zapata.

Unde M reprezintă întreaga masă a discului. Zona unui disc depinde de raza sa ca:

Derivarea în raport cu r:

Înlocuind cele de mai sus în definiția lui I:

Înlocuind σ = M / (π.R ² ) obținem:

Moment de inerție a unei sfere solide de aproximativ un diametru

O sferă de rază R poate fi considerată ca o serie de discuri stivuite unul peste altul, unde fiecare disc de masă infinitesimală dm, raza r și grosimea dz, are un moment de inerție dat de:

Pentru a găsi acest diferențial, am luat pur și simplu formula din secțiunea anterioară și am substituit M și R pentru dm și, respectiv, r. Un disc ca acesta poate fi văzut în geometria figurii 5.

Figura 5. Geometria pentru a calcula momentul de inerție a unei sfere solide de rază R în raport cu o axă care trece printr-un diametru. Sursa: F. Zapata.

Prin adăugarea tuturor momentelor infinitezimale de inerție a discurilor stivuite, se obține momentul total de inerție al sferei:

Ceea ce este echivalent cu:

Pentru a rezolva integralul, trebuie să vă exprimați dm în mod corespunzător. Ca întotdeauna, se obține din densitate:

Volumul unui disc diferențial este:

Înălțimea discului este grosimea dz, în timp ce suprafața bazei este πr ² , prin urmare:

Și înlocuirea integralului propus ar arăta astfel:

Dar înainte de integrare, trebuie să observăm că r - raza discului depinde de z și R - raza sferei -, așa cum se poate observa din figura 5. Folosind teorema pitagoreică:

Ceea ce ne conduce la:

Pentru a se integra pe întreaga sferă, observăm că z variază între –R și R, prin urmare:

Știind că ρ = M / V = ​​M / este obținut în final, după simplificarea:

Moment de inerție a unui cilindru solid în raport cu axa axială

Pentru acest obiect, se folosește o metodă similară cu cea utilizată pentru sferă, doar de această dată este mai ușor dacă se consideră că cilindrul este format din cochilii cilindrice cu raza r, grosimea dr și înălțimea H, ca și cum ar fi straturile unei cepe. .

Figura 6. Geometria pentru calcularea momentului de inerție a unui cilindru solid cu raza R față de axa axială. Sursa: Serway, R. 2018. Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. Cengage.

Volumul dV al unui strat cilindric este:

Prin urmare, masa de coajă este:

Această expresie este substituită în definiția momentului de inerție:

Ecuația de mai sus indică faptul că momentul de inerție al cilindrului nu depinde de lungimea sa, ci doar de masa și raza sa. Dacă L s-ar schimba, momentul inerției cu privire la axa axială ar rămâne aceeași. Din acest motiv, cilindrul I coincide cu cel al discului subțire calculat anterior.

Moment de inerție a unei foi dreptunghiulare față de o axă care trece prin centrul ei

Axa y orizontală a fost aleasă ca axa de rotație. Figura de mai jos prezintă geometria necesară pentru realizarea integrării:

Figura 7. Geometria pentru calcularea momentului de inerție a unei plăci dreptunghiulare în raport cu o axă paralelă cu foaia și care trece prin centrul acesteia. Sursa: F. Zapata.

Elementul de zonă marcat cu roșu este dreptunghiular. Aria sa este baza x înălțimea, prin urmare:

Prin urmare, diferențialul de masă este:

În ceea ce privește distanța de la elementul zonei la axa de rotație, aceasta este întotdeauna z. Înlocuim toate acestea în integralitatea momentului de inerție:

Acum densitatea masei de suprafață σ este înlocuită de:

Și cu siguranță arată așa:

Rețineți că este ca bara subțire.

Moment de inerție a unei foi pătrate față de o axă care trece prin centrul ei

Pentru un pătrat cu latura L, în expresia anterioară valabilă pentru un dreptunghi, pur și simplu înlocuiți valoarea b pentru cea a lui L:

Momentul teoremelor inerției

Există două teoreme deosebit de utile pentru a simplifica calculul momentelor de inerție în raport cu alte axe, care altfel ar putea fi dificil de găsit din cauza lipsei de simetrie. Aceste teoreme sunt:

Teorema lui Steiner

Numită și teorema axelor paralele, ea raportează momentul inerției în raport cu o axă cu o alta care trece prin centrul de masă al obiectului, atâta timp cât axele sunt paralele. Pentru a o aplica este necesară cunoașterea distanței D între ambele axe și bineînțeles masa M a obiectului.

Să _fiu momentul de inerție al unui obiect extins față de axa z, I _CM momentul de inerție față de o axă care trece prin centrul de masă (CM) al obiectului menționat, atunci este adevărat că:

Sau în notația următoarei figuri: I _{z '} = I _z + Md ²

Figura 8. Teorema lui Steiner sau axe paralele. Sursa: Wikimedia Commons. Jack See

Teorema axelor perpendiculare

Această teoremă este aplicată suprafețelor plane și merge astfel: momentul de inerție a unui obiect plan în jurul unei axe perpendicular pe acesta este suma momentelor de inerție în jurul a două axe perpendiculare pe prima axă:

Figura 9. Teorema axelor perpendiculare. Sursa: F. Zapata.

Dacă obiectul are simetrie astfel încât I _x și I _y sunt egali, atunci este adevărat că:

Exercițiu rezolvat

Găsiți momentul de inerție a barei în raport cu o axă care trece printr-unul dintre capetele sale, așa cum se arată în figura 1 (mai jos și în dreapta) și figura 10.

Figura 10. Moment de inerție a unei bare omogene în jurul unei axe care trece printr-un capăt. Sursa: F. Zapata.

Soluţie:

Avem deja momentul de inerție a barei în jurul unei axe care trece prin centrul său geometric. Deoarece bara este omogenă, centrul său de masă este în acel moment, deci acesta va fi _CM-ul nostru pentru a aplica teorema lui Steiner.

Dacă lungimea barei este L, axa z se află la o distanță D = L / 2, prin urmare:

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentele fizicii. Pearson. 190-200.
3. Teorema axei paralele. Recuperat din: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. Cengage.
5. Universitatea din Sevilla. Solidele sferice moment de inerție. Recuperat din: laplace.us.es.
6. Universitatea din Sevilla. Moment de inerție a unui sistem de particule. Recuperat din: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorema axelor paralele. Recuperat de la: en.wikipedia.org